Encontrar x,y,z de un triángulo

Question

A mi hermano menor se le pidió que hiciera este problema y se le dio el problema exactamente como se le dio sin ninguna información adicional.

Básicamente, estamos tratando de encontrar los valores de x,y,y z pero estamos teniendo un tiempo difícil. Así que lo primero que intentamos hacer es establecer proporciones pero nos dimos cuenta de que ninguno de los tres triángulos puede demostrarse similar por AA, SAS o SSS.

Entonces pensé en utilizar la ley de los senos y esto es lo que hice:

Estoy usando triángulos ACD y BCD

$$\frac{AC}{sin 90}=\frac{DC}{sin 90}$$

pero AC=9 así que, $$\frac{9}{sin 90}=\frac{DC}{sin 90}$$

lo que significa $z=9$ y aquí es donde ocurre el problema:

Decidí usar el teorema de Pitágoras para encontrar y pero me sale y=0. Así que ahora, estoy aquí para buscar ayuda. ¿Alguna idea?

Answer 1

Podría empezar por reconocer que $ABD$ y $ADC$ son triángulos similares, porque comparten los ángulos $\angle DAC$ y $90$ grados. Por lo tanto, $$\frac{y}{4} = \frac{z}{x} = \frac{9}{y}$$ Podemos reorganizar $y/4 = 9/y$ para obtener $y^2 = 36$ Así que $y = 6$ lo que nos permite responder a (b). Entonces por el teorema de Pitágoras, $$4^2 + x^2 = y^2 = 36$$ así que $x^2 = 20$ lo que significa que $x = \sqrt{20}$ , lo que nos permite responder a (a). Por último, reordenando la primera ecuación anterior obtenemos $$z = \frac{xy}{4} = \frac{6\sqrt{20}}{4}$$ lo que nos permite responder a (c).

Answer 2

Puedes usar sólo el teorema de Pitágoras. Hay tres triángulos rectos en tu imagen dados por los tres ángulos rectos (fíjate que $\angle ABD$ es correcto). Con esos tres triángulos obtenemos las siguientes ecuaciones. \begin{cases} z^2 = 25 + x^2 \\ y^2 = 16 + x^2 \\ 81 = z^2 + y^2 \end{cases} Sustituyendo los dos primeros en el tercero, se puede resolver $x$ y obtener $x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ . Entonces puede sustituir este valor de $x$ en las dos primeras ecuaciones para resolver $y$ y $z$ . Entiendo que $y = \sqrt{36} = 6$ y que $z = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ .

Answer 3

$\Delta ADC, \Delta ABD, \Delta CBD$ son todos triángulos rectos claramente. También, $x$ es la media geométrica de $AB$ y $BC$ porque $DB$ es una altitud de $\Delta ADC$ . Esto significa que $x^2=4 \cdot 5$ así que $x=\sqrt{20}=2\sqrt5$ . A es entonces $4\sqrt5$ . A continuación, puedes calcular y utilizando el Teorema de Pitágoras. $y =\sqrt{4^2+(2\sqrt5)^2}=\sqrt{36}=6$ y $\frac{y}{2}=\frac{6}{2}=3$ . Ahora para c podemos utilizar de nuevo el Teorema de Pitágoras. $z=\sqrt{5^2+(2\sqrt5)^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5$ y $z+8=3\sqrt5+8$ .