¿Cómo afecta la toma de la parte real de una matriz a la norma de Frobenius de sus potencias?

Question

Dejemos que $A \in C^{n \times n}$ y $\|A\|_2 \leq 1$ . ¿Sostiene que

$$\Vert \Re(A)^k \Vert_F \leq C_n\Vert \Re(A^k) \Vert_F ?$$

Answer 1

Esto ya es un error para $n=1$ . Toma $x$ real, $A=(x^2+ix)$ . Entonces $\Re(A^2)=(x^4-x^2)$ y $(\Re A)^2=(x^4)$ . Para $|x|$ pequeño, se ve inmediatamente que la desigualdad que propones no se puede mantener.