Aproximación de la probabilidad de que el caminante se encuentre en el origen después de $2n$ pasos

Question

Estoy leyendo "Lecture on comtemporary probability" de Lawler. Hay $2$ partes en el libro que no entiendo:

1. "Para que el caminante esté en el origen después de $2n$ pasos, el caminante habrá tenido que dar un número par de pasos en cada componente. La probabilidad de hacer esto es de aproximadamente $2^{1-d}$ ". Entiendo la primera afirmación, pero ¿por qué la segunda es cierta?

2. ¿Por qué la aproximación es el producto de estos $2$ ¿probabilidades?

Answer 1

1) Se debe observar el caso de que para cada dirección el número de pasos dados en esa dirección sea par. Esto, sin embargo, bajo la condición extra de que el número total de pasos sea par (estamos buscando tiempos de la forma $2n$ ).

Si $X_i$ denota el número de pasos en la dirección $i\in\{1,\dots,d\}$ entonces: $$P(X_1\text{ is even}\wedge\cdots\wedge X_d\text{ is even}\mid X_1+\cdots+X_1\text{ is even})=$$$$ \frac{P(X_1\cdots{ es par}\wedge\cdots\wedge X_d\text{ es par})}{P(X_1+\cdots+X_d\text{ es par})}sim\frac{2^{-d}}{2^{-1}}=2^{1-d}$$

Answer 2

Basándome en la respuesta de @drhab, esta es mi explicación para la segunda pregunta.

Dejemos que $A$ sea el evento " $S_n = 0$ ", $B$ es el evento " $n$ está en paz", $C$ es el evento "cada $X_i$ es par". Entonces $C \subset B$ .

Entonces tenemos:

1. $\mathbb P(S_{2n} = 0) = \mathbb P(A|B)$

2. La probabilidad en la primera pregunta es $\mathbb P(C | B)$

3. La probabilidad de que todo el componente sea $0$ es $\mathbb P(A|C)$

Su segunda pregunta equivale, por tanto, a por qué $\mathbb P(A|B) = \mathbb P(A|C) \times \mathbb P(C|B)$ ? Basándose en la relación de $A,B,C$ y la definición de probabilidad condicional, puedes demostrar que esto es cierto.