¿Cómo puedo demostrar que esta secuencia de integrales llega a cero?

Question

$$\int_0^{2\pi} f(x)\cos(nx)dx$$

para $f(x)$ real valorado y continuo en $[0,2\pi]$ .

¿Cómo puedo demostrar que el límite de las integrales, a medida que n va al infinito, es cero?

He pensado e intentado la integración por partes, sin obtener mucha información.

También he pensado que quizás la transformada de Fourier esté al acecho de este problema, pero no estoy seguro de cómo utilizarla.

Answer 1

Como alternativa, te daré una prueba que se basa sólo en la continuidad uniforme de $f$ y la integral de Riemann.

Para cualquier $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ siempre que $|x-y| < \delta$ y $x,y\in[0,2\pi]$ . Esto puede hacerse porque $f$ es uniformemente continua en $[0,2\pi]$ . Elija $N$ lo suficientemente grande como para que $2\pi/N < \delta$ . Definir $x_j=j\frac{2\pi}{N}$ para $j=0,1,2,\cdots,N$ . Sea $$ x_j^{\star}=\frac{1}{2}(x_{j-1}+x_j). $$ Entonces $$ |f(x)-f(x_j^{\star})| < \epsilon/4\pi \mbox{ whenever } x \in [x_{j-1},x_j]. $$ Definir $f_N(x)$ para que $f(x)=f(x_j^{\star})$ para $x \in [x_{j-1},x_j)$ . Esto funciona bien para todos los intervalos hasta $j=N$ . Para $j=N$ , dejemos que $f_N(x)=f(x_N^{\star})$ para $x \in [x_{j-1},x_j]$ . Entonces $$ |f(x)-f_N(x)| < \epsilon/4\pi, \;\;\; x \in [0,2\pi]. $$ Entonces $$ \left|\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos(nx)dx-\int_{0}^{2\pi}f_N(x)\cos(nx)dx\right| < \frac{\epsilon}{2}. $$ Y \begin{align} \int_{0}^{2\pi}f_N(x)\cos(nx)dx & = \sum_{j=1}^{N}f(x_j^{\star})\int_{x_{j-1}}^{x_j}\cos(nx)dx \\ & = \sum_{j=1}^{N}f(x_j^{\star})\frac{\sin(nx_{j})-\sin(nx_{j-1})}{n}. \end{align} Ahora puedes elegir $K$ lo suficientemente grande como para que la suma de la derecha esté limitada por $\epsilon/2$ siempre que $n > K$ . De ello se desprende que $$ \left|\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos(nx)dx\right| < \epsilon \mbox{ whenever } n > K. $$