$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d,$ con $a > 0. $ Si $f$ es estrictamente creciente, entonces la función $g(x) = f′ (x) −f′′(x) + f′′′(x)$ es

Question

PREGUNTA: Considere la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d,$ donde $a, b, c$ y $d $ son números reales con $a > 0. $ Si $f$ es estrictamente creciente, entonces la función $g(x) = f (x) f(x) + f(x)$ es

$(i)$ cero para algunos reales $x$ .

$(ii)$ positivo para todos los reales $x$ .

$(iii)$ negativo para todos los reales $x$ .

$(iv)$ estrictamente creciente.

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MI RESPUESTA: Esta es una pregunta fácil. Sólo quiero saber dónde me equivoqué. Esto es lo que hice

$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$$$f''(x)=6ax+2b$$ y, $$f'''(x)=6a$$ por lo tanto, $$g(x)=3ax^2+2bx+c-6ax-2b+6a$$ que no es más que eso, $$g(x)=3ax^2+(2b-6a)x+(6a+c-2b)$$ por lo tanto, representa una parábola de apertura ascendente $(\because a>0)$ . Así podemos ver que la función es no estrictamente creciente y no siempre negativo. Ahora bien, que la función llegue o no a cero, depende del discriminante de la ecuación cuadrática. Pero resulta ser $$\sqrt{(2b-6a)^2-4(6a+c-2b)3a}$$ y esto se complica demasiado.. además tenemos otra información que $f'(x)=3ax^2+2bx+c>0$ . Pero no pude usarlo en ningún sitio..

Estoy seguro de que hay formas más inteligentes de abordar esta cuestión.

Cualquier ayuda será muy apreciada. Muchas gracias.

Answer 1

Como se trata de una pregunta de opción múltiple, puedes permitirte el lujo de introducir valores y llegar a la respuesta por proceso de eliminación. Para el caso más sencillo, pongamos $a=1,b=c=d=0.$ Así que $$g(x)=3x^2-6x+6$$ que nunca es $0.$ Así, $(ii)$ es su respuesta.

Answer 2

Desde $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \geq 0$ el discriminante de $f'$ debe ser negativo: $$4b^2 - 4\cdot 3a \cdot c = 4b^2 - 12ac \leq 0$$

Ahora el discriminante de $g$ es igual a $$(2b-6a)^2 - 4\cdot 3a \cdot (6a+c-2b) = 4b^2 - 24ab + 36a^2 - 72a^2 - 12ac + 24ab = 4b^2 - 12ac - 36a^2$$ pero como $4b^2 - 12ac \leq 0$ y $-36a^2 < 0$ este discriminante es estrictamente negativo.

Esto implica que $g(x) > 0$ para todos $x$ ya que $g$ no puede tener ningún cero.

Answer 3

Sabemos que $g$ es una parábola en forma de U. Para calcular su vértice, resuelve $$g'(x_0)=0\iff f''(x_0)=f'''(x_0)$$ recordando que $f^{(4)}=0$ . La segunda coordenada del vértice es $$g(x_0)=f'(x_0)-f''(x_0)+f'''(x_0)=f'(x_0)\geq0$$ como $f$ es estrictamente creciente.

Si $f'(x_0)=0$ entonces $f$ tiene en $x_0$ un punto de ensillamiento, es decir, $f''(x_0)=0$ también, y eso significa $0=f''(x_0)=f'''(x_0)=6a>0$ .

Answer 4

Desde $f$ es estrictamente creciente, el discriminante reducido de $f^\prime$ es decir:

$\frac{\Delta^\prime}{4} = b^2 - 3ac\;, $

satisface $\frac{\Delta^\prime}{4} \leq 0$ .

Ahora, el discriminante reducido de $g$ es decir:

$\frac{\Delta}{4} = (b-3a)^2 - 3a(6a + c - 2b) = b^2 - 6ab + a^2 - 18a^2 - 3ac + 6ab = \frac{\Delta^\prime}{4} - 17a^2\;,$

satisface $\frac{\Delta}{4} < 0$ .
Por lo tanto, $g$ tiene que tener el mismo signo de $a$ .