Determinar los valores propios y los vectores propios del operador $\ A \ $

Question

Consideremos el espacio vectorial de los polinomios reales de grado no superior a $\ n \ $ dado por $\large \mathbb{R}_n[x]=\{\sum_{i=0}^{n} a_i x^i \ | a_i \in \mathbb{R}, \ \forall i \} \ $ .

Definir un operador $\ A \in End (\mathbb{R}_n[x] ) \ $ por $\ (Ap) (x)=P(2x+1) \ $ .

Determinar los valores propios y los vectores propios del operador $\ A \ $ .

Aquí $\ End (\mathbb{R}_n[x] ) \ $ es un endorfismo de $\mathbb{R}_n[x] \to \mathbb{R}_n[x] \ $

Respuesta:

La base de $\mathbb{R}_n[x] \ $ viene dada por $\{1,x,x^2, x^3,......, x^n \} \ $

Ahora,

$(Ap)(x)=P(2x+1) \ $ da el siguiente sistema

$For \ p(x)=1 , \ \ A(1) =1=1 \cdot 1+ x \cdot 0+............+x^n \cdot 0 \\ For \ p(x)=x , \ \ A(x)=2x+1=1 \cdot 1+2 \cdot x+0 \cdot x^2+........+0 \cdot x^n \\ For \ p(x)=x^2 , \ \ A(x^2)=(2x+1)^2=1+4x+4x^2=1 \cdot 1+4 \cdot x+4 \cdot x^2+......+0 \cdot x^n \\ ..............\\ p(x)=x^n \Rightarrow A (x^n)=(2x+1)^n=1 \cdot 1+2 \binom{n}{1} \cdot x+2^2 \binom {n}{2} \cdot x^2+...........+2^n \binom{n}{n} \cdot x^n$

Así, la matriz de coeficientes es

$A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & ............ & 1 \\ 0 & 2 & 4 & 8 & ...... ........ & 2n \\ 0 & 0 & 4 & ..... \\ .... & ...... & ..... & .. & . ............ & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ............ & 2^n \end{bmatrix} \ $

¿Estoy en lo cierto hasta ahora?

Si el enfoque anterior es correcto, entonces cómo encontrar los valores propios y los vectores propios de la matriz $\ A \ $ ?

Ayúdame

Answer 1

Me gusta lo que tienes hasta ahora.

Los valores propios de una matriz triangular superior son los valores de la diagonal principal

Los primeros vectores propios

$\pmatrix{1&1&1&2\\&1&2&3\\&&1&3\\&&&1}$

Bueno, eso parece el triángulo de Pascal.

o $(x+1)^n$ aparece para describir el conjunto de vectores propios.

$A((x+1)^n) = (2x+2)^n = 2^n(x+1)^n$ y que es la característica de un vector propio.

Observo un error en su trabajo anterior, en el $A_{2,4}$ lugar, muestra un $8$

$A= \pmatrix{1&1&1&1\\&2&4&6&\cdots &2{n\choose 1}\\&&4&12&\cdots& 2^2{n\choose 2}\\&&&8&\cdots &2^3{n\choose 3}\\&&&&2^m{n\choose m}&\vdots\\&&&&&2^n}$

Answer 2

Una pista: Su matriz $A$ es triangular superior, por lo que el determinante es el producto de las entradas diagonales.

Answer 3

Intenta resolver $AP = \lambda P$ en su lugar. Podemos suponer que $P$ es mónico.

Entonces $P(2x+1) = \lambda P(x)$ . Por lo tanto, $2^k P^{(k)}(2x+1) = \lambda P^{(k)}( x)$ .

Dejar $x=-1$ (ya que $2x+1=x$ si $x=-1$ ) da $2^k P^{(k)}(-1) = \lambda P^{(k)}(-1 )$ para $k=0,...,n$ .

En otras palabras, $(\lambda-2^k) P^{(k)}(-1 ) = 0$ para $k=0,...,n$ .

Si $\partial P = j$ vemos que $P^{(j)}(-1 ) = 1$ y así $\lambda = 2^j$ . Desde $P^{(k)}(-1 ) =0$ para $k=0,...,j-1$ vemos que $(x+1)^j$ divide $P$ .

En particular, $P(x) = (1+x)^j$ es un vector propio correspondiente a el valor propio $2^j$ para $j=0,...,n$ .