¿Existe un ejemplo de un campo K y una extensión de campo L/K para el que exista un automorfismo de L/K que no deje fijo a K?

Question

Sabemos que para una extensión de los números racionales, los racionales deben permanecer fijos. Entonces, ¿hay algún ejemplo en el que K no sea fijo?

Answer 1

Sí, hay procedimientos generales para construir esos ejemplos. Sea $K=Q(a)$ donde $a$ es la raíz de algún polinomio, $p(x)$ que es irreducible sobre $Q$ . Existe un isomorfismo, $h$ , en $K$ que arregla $Q$ pero envía $a$ a otra raíz de $p(x)$ , $b$ .

Ahora defina $L$ para ser el campo de división de $p(x)$ en $Q$ . Podemos ampliar $h$ a un automorfismo, $\bar h$ , en $L$ .

Sin embargo, $h(a)\neq a$ así que $h$ no ha fijado $K$ . Si quieres $h(K)\neq K$ también, simplemente tenemos que asegurarnos de que $K(a)$ no se divide sobre $Q$ .

Para un ejemplo concreto, veamos $p(x)=x^3-2$ y que $a=\sqrt[3]{2}$ . Existe un isomorfismo de $Q(\sqrt[3]{2})$ a $Q(\omega\sqrt[3]{2})$ donde $\omega$ es una raíz cúbica compleja de la unidad. Como $\omega$ es complejo, este isomorfismo claramente no fija $Q(\sqrt[3]{2})$ . Pero se puede extender a un automorfismo sobre $Q(\sqrt[3]{2},\omega\sqrt[3]{2})$ el campo de división de $x^3-2$ en $Q$ .