Mientras aprendía sobre la construcción de sistemas numéricos, me di cuenta de que tenía muchos malentendidos sobre conceptos cruciales que estaba aprendiendo intuitivamente. Recientemente aprendí sobre la construcción de los racionales como un conjunto de clases de equivalencia de pares ordenados de enteros (m,n), con n != 0. También sé cómo se definen la adición y la multiplicación en ese conjunto. Sé que los racionales exhiben buenas propiedades matemáticas pero lo que me pregunto es ¿cuál es su interpertación? ¿Qué representan? Por ejemplo, ¿qué representa una mitad? ¿Debo conformarme con la explicación que se da a los niños de 5 años sobre la división de la pizza por la mitad y la toma de un trozo? ¿Existe un significado definido en el mundo real para los racionales?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La definición matemática rigurosa de los números racionales es que son clases de equivalencia de pares ordenados de números enteros $(m,n)$ con $n\neq 0$ para la relación de equivalencia $$(m,n)\equiv (o,p)\iff mp = no.$$
No entiendo muy bien cómo escribiste primero la definición matemática rigurosa de $\mathbb Q$ ...luego se preguntó si existe una definición matemática rigurosa de los números racionales...
Otra forma de ver los números racionales es que son, dado el conjunto de los números naturales y las operaciones de suma y multiplicación, el conjunto más pequeño que contiene $\mathbb N$ y satisfacen todos los axiomas de un campo (son el "campo más pequeño que contiene los números naturales").
En cuanto al significado de los racionales en el mundo real... En un sentido estricto de la palabra, ningún concepto matemático tiene un "significado" directo en la naturaleza, pero creo que, en general, el uso natural de las fracciones proviene del hecho de que la propia naturaleza las contiene. Tu ejemplo con una tarta es una forma completamente legítima de justificar por qué se usan los racionales en la vida real: es porque existe algo así como "media tarta".
Difiero ligeramente de los otros comentarios y respuestas en que no creo que el significado en el mundo real que has dado sea diferente del significado formal. Quizá podamos dividirlo en pasos. Lo que espero es que cada paso se pueda deducir del siguiente.
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Dos tercios de pizza es lo que se obtiene cuando se divide una pizza en tres trozos iguales y se cogen dos de ellos.
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Los dos tercios de una pizza tienen la propiedad de que, dados tres de ellos, tienes dos pizzas en total. Esta propiedad caracteriza a "dos tercios de pizza". Es decir, si se tiene algún porcentaje de una pizza, tal que al tomar tres, se pueden hacer exactamente dos pizzas enteras, entonces se tienen dos tercios de una pizza.
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"Dos tercios de pizza" es la única solución de la ecuación 3x = 2 cuando x se interpreta como "número de pizzas".
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Cualquiera que sea el modelo formal (estoy usando la palabra "modelo" en su sentido cotidiano, no en su sentido matemático) que tengas en mente para los enteros, puedes extenderlo a un modelo en el que todas las ecuaciones de la forma ax = b con $a \neq 0$ tienen soluciones utilizando el "truco de la clase de equivalencia" que has mencionado. En ese modelo más amplio, la ecuación $3x = 2$ tiene una solución única que llamamos 2/3.
En resumen, yo no tomaría (la clase de equivalencia del par (2, 3)) como muy diferente de (la solución única de $3x = 2$ ) que está directamente relacionado con la tierra de las pizzas cuando $x$ se interpreta como pizza.
