Uso del producto tensorial para construir el mapa canónico del homomorfismo

Question

Dejemos que $V_1, V_2, W_1, W_2$ sean espacios vectoriales de dimensión finita y $f: V_1 \to W_1$ y $g: V_2 \to W_2$ sean mapas lineales. Utilizar la propiedad universal del producto tensorial para construir un mapa canónico $$ \psi : Hom(V_1, W_1) \otimes Hom (V_2, W_2) \to Hom (V_1 \otimes V_2, W_1 \otimes W_2) $$ Demostrar que $\psi$ es un isomorfismo

La propiedad universal del producto tensorial es:

$$ if \; B: V \times W \to U \; is \; bilinear \; to \; U \Rightarrow \exists ! Linear \; map \; \beta: V \otimes W \to U \; s.t. \; B(v, w) = \beta ( v \otimes w) $$

Un mapa canónico es un mapa que conmuta.

$$ Hom(V_1, W_1) \otimes Hom (V_2, W_2) \to X $$

Y

$$ X \to Hom (V_1 \otimes V_2, W_1 \otimes W_2) $$

Entonces, ¿qué hacer? Es $X = V \times W$ Perdón por tantas ediciones, le di al botón de enviar demasiado pronto cuando quería ver la vista previa

Answer 1

Se quiere construir un mapa bilineal

$$ B \colon \mathrm{Hom}(V_1,W_1) \times \mathrm{Hom}(V_2,W_2) \rightarrow \mathrm{Hom}(V_1 \otimes V_2, W_1 \otimes W_2) $$

y luego utilizar la propiedad universal para obtener $\psi$ . Para definir $B(f,g)$ , querrá volver a utilizar la propiedad universal. En lugar de definir $B(f,g) \in \mathrm{Hom}(V_1 \otimes V_2, W_1 \otimes W_2)$ definan un mapa bilineal $V_1 \times V_2 \rightarrow W_1 \otimes W_2$ por $(v_1,v_2) \mapsto f(v_1) \otimes g(v_2)$ . Demuestre que esto es efectivamente bilineal y por lo tanto define $B(f,g)$ . Demostrar que $B(f,g)$ es bilineal y, por tanto, define $\psi$ . Por último, utilice las bases para comprobar que $\psi$ es un isomorfismo.