Dejemos que $f:[-1,1]\to\Bbb R$ sea una función continua y diferenciable.Demuestre que existe un punto $ c\in(-1,1), $ tal que $f'(c)=0$

Question

Dejemos que $f:[-1,1]\to\Bbb R$ sea una función continua y diferenciable. Supongamos que $f(-1)=\pi, f(0)= -3,f(1)=1. $ demostrar que existe un punto $ c\in(-1,1), $ tal que $f'(c)=0$ $$$$ I know that $ f(-1) \cdot f(0) <0 $, and $ f(0) \cdot f(1) <0 $ , but I don't know if I can use the intermediate value theorem to say that there exists 2 points $ -1<c<0<d<1 $ s.t $ f(c)=f(d)=0 $ and use Rolle theorem to say that there exists $ c \Nen (c,d)\Nsubconjunto(-1,1) $ s.t $ f'(e)=0 $ $$$$ También he intentado utilizar el teorema del valor intemedio generalizado de : $f(-1)=\pi >1, f(0)=-3 <0$ pero mi intervalo es [-1,0] y $f(a)<r<f(b)\to f(-1)\not\lt 1 \not\lt f(0) = \pi\not\lt1\not\lt-3$ . $$-$$

Gracias.

Answer 1

Aquí es donde entra en juego la demostración (y no sólo el enunciado) del teorema de Rolle. Dado que $f(0)<f(-1)$ y $f(0)<f(1)$ se deduce que $f$ alcanza su valor mínimo en algún punto interior $c\in(-1,1)$ . Desde $f$ es diferenciable en $c$ por el principio de mínimos tenemos $f'(c) =0$ . No es necesario invocar teoremas adicionales como el IVT.

Answer 2

Como has dicho,

$f(-1) \cdot f(0) <0 $ y $f(0) \cdot f(1) <0$

por lo que el teorema del valor intermedio le dará $a\in (-1,0)$ y $b\in (0,1)$ tal que $f(a)=f(b)=0$ (con $a<b$ ).

Entonces se puede utilizar el teorema de Roll para $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ ( $f$ es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$ ) que le indica la existencia de $c$ ( $\in (a,b) \subset(-1,1$ )) tal que $$ f'(c)= 0. $$

Así que, básicamente, es exactamente lo que has dicho...

Answer 3

Una opción:

Supongamos que no hay ningún punto

$c \in (-1,1)$ con $f'(c)=0$ .

Entonces:

1) $f'(x) \gt 0$ para $x\in (-1,1)$ o

2) $f'(x) \lt 0$ para $x\in (-1,+1).$

1) $f$ es estrictamente creciente en $(-1,1)$ .

Rechazado, mira los puntos dados.

2) $f$ es estrictamente decreciente en $(-1,1)$ .

Rechazado, mira los puntos dados.

Una contradicción.

Por lo tanto, hay un punto

$c \in (-1,1)$ con $f'(c)=0$ .

Answer 4

Debido a la continuidad de su función para cualquier cambio de signo se obtiene un cero y entre dos ceros consecutivos se obtiene al menos un punto crítico.

Tiene dos cambios de signo y su función es diferenciable. Por tanto, tienes al menos dos ceros para tu función y un cero para tu derivada.