Conjetura de Collatz: ¿Este argumento muestra que si existe un ciclo no trivial, la suma de potencias de $2$ debe ser una potencia mínima de $2 > 3^n$ ?

Question

¿Qué hay de malo en este argumento?

Estoy seguro de que estoy malinterpretando algo o hay un error en este argumento. Este argumento está sacado del responder dado a una de mis preguntas sobre la Conjetura de Collatz.

Déjalo:

• $v_2(x)$ sea el Valoración 2-ádica de $x$
• $C(x) = \dfrac{3x+1}{2^{v_2(3x+1)}}$
• $x_1>1, x_2>1, \dots, x_n>1$ sea la secuencia de $n$ enteros Impares distintos para cada aplicación de $C(x_i)$ de manera que para cada $x_i$ :

• para $i > 1$ , $x_i = C(x_{i-1})$
• $x_i > 1$

• $x_{\text{min}}, x_{\text{max}}$ sean el valor mínimo y máximo de $x_1, x_2, \dots, x_n$
• $C_1(x) = C(x)$
• $C_n(x) = C(C_{n-1}(x))$

Observaciones:

• $\left(3 + \dfrac{1}{x_{i-1}}\right) = \left(\dfrac{x_i}{x_{i-1}}\right)2^{v_2(3x_{i-1} + 1)}$

• $x_i = \dfrac{3x_{i-1}+1}{2^{v_2(3x_{i-1}+1)}}$
• $2^{v_2(3x_{i-1}+1)}x_i = 3x_{i-1} + 1$

• $\prod\limits_{k=1}^{n}\left(3 + \frac{1}{x_k}\right) = \left(\dfrac{x_{n+1}}{x_1}\right)\prod\limits_{k=1}^n2^{v_2(3x_k + 1)}$

Esto se deduce directamente de la observación anterior.

• $\left(3 + \dfrac{1}{x_{\text{max}}}\right)^{n} \le \left(\dfrac{x_{n+1}}{x_1}\right)\prod\limits_{k=1}^n2^{v_2(3x_k + 1)} \le \left(3 + \dfrac{1}{x_{\text{min}}}\right)^{n}$

Esto se deduce directamente de la observación anterior.

• si existe un ciclo no trivial, $n > 1$

$x = \dfrac{3x+1}{2^{v_2(3x+1)}}$ implica $x(2^{v_2(3x+1)} - 3) = 1$ lo que implica que $x=1$

Reclamación:

Si hay un ciclo no trivial, la suma de las potencias de $2$ en el ciclo son la mínima potencia entera de $2$ mayor que $3^n$

Argumento:

(1) Supongamos que $x_1>1, x_2>1, \dots, x_n>1$ formar un $n$ -ciclo tal que:

• $x_i = C(x_{i-1})$
• $x_i = C_n(x_i)$ si $i \ge 1$
• Cada $x_i$ es distinto. Si $j < n$ , $x_{i+j} \ne x_i$

(2) Que $m = \sum\limits_{k=1}^{n} v_2(3x_k + 1)$

(3) A partir de la tercera observación y dado que cada $x_i$ en el ciclo es distinto y se repite:

$$2^m = \left(\dfrac{x_{\text{i+n}}}{x_{i}}\right)2^m < \left(3 + \dfrac{1}{x_{\text{min}}}\right)^{n}$$

(4) Supongamos que $2^{m-1} > 3^n$

(5) $2\times3^n < 2^m < \left(3 + \dfrac{1}{x_{\text{min}}}\right)^{n}$

(6) Pero entonces tenemos una contradicción porque $x_{\text{min}} < 1$ lo cual es imposible ya que todos los $x_i > 1$ :

• $2^{\frac{1}{n}}3 < 3+ \dfrac{1}{x_{\text{min}}}$
• $x_{\text{min}}\left(3(2^{\frac{1}{n}} - 1)\right) < 1$
• $x_{\text{min}} < \dfrac{1}{3(2^{\frac{1}{n}} - 1)} < \dfrac{1}{3}$

Answer 1

Usted escribió en su última línea

$x_{\text{min}} < \dfrac{1}{3(2^{\frac{1}{n}} - 1)} < \dfrac{1}{3}$

Sin embargo, tenga en cuenta para $n \gt 1$ que $2^{1/n} \lt 2 \implies 2^{1/n} - 1 \lt 1$ Así que $3(2^{1/n} - 1) \lt 3$ y, por lo tanto, $\frac{1}{3\left(2^{1/n} - 1\right)} \gt \frac{1}{3}$ . Por ejemplo, $n = 10$ da

$$\frac{1}{3\left(2^{0.1} - 1\right)} \approx 4.64 \tag{1}\label{eq1A}$$

Utilizando

$$2^{1/n} = e^{\ln(2)(1/n)} \tag{2}\label{eq2A}$$

y los primeros términos de la exponencial Serie Taylor expansión, da

$$\begin{equation}\begin{aligned} \frac{1}{3\left(2^{1/n} - 1\right)} & = \frac{1}{3\left(\left(1 + \frac{\ln(2)}{n} + \frac{\ln(2)^2}{2n^2} + O\left(n^{-3}\right)\right) - 1\right)} \\ & = \frac{1}{3\left(\frac{\ln(2)}{n} + \frac{\ln(2)^2}{2n^2} + O\left(n^{-3}\right)\right)}\\ & = \frac{1}{3\left(\frac{\ln(2)}{n}\right)\left(1 + \frac{\ln(2)}{2n} + O\left(n^{-2}\right)\right)}\\ & = \frac{n}{3\ln(2)}\left(1 - \frac{\ln(2)}{2n} + O\left(n^{-2}\right)\right) \\ & = \frac{n}{3\ln(2)} - \frac{1}{6} + O\left(n^{-1}\right) \end{aligned}\end{equation}\tag{3}\label{eq3A}$$