Si se considera el campo de Dirac $\psi$ como una combinación lineal de la parte de aniquilación de partículas $\psi^+$ y la parte de creación de antipartículas $\psi^{-c}$ entonces tenemos el requisito de que $P\psi(x)P^{-1}$ debe ser proporcional a $\psi(Px)$ , donde $P$ es el operador de inversión de paridad/espacio. (Aquí cometo un ligero abuso de notación: el $P$ es a la vez el operador unitario que representa la paridad y que actúa sobre el espacio de estados y el operador de inversión del espacio de Minkowski que envía $(t,\vec x)$ a $(t,-\vec x)$ en el argumento.
En general, tenemos también que esto se debe mantener para $\psi^+$ y $\psi^{-c}$ es decir \begin{align} P \psi^+(x)P^{-1} & = \eta^\ast b_u \psi^+(Px) \\ P \psi^{-c}(x)P^{-1} & = \eta^c b_v \psi^{-c}(Px) \end{align} donde el $\eta^\ast$ y $\eta^c$ son las fases por las que se transforman los operadores de anticreación/aniquilación y el $b_{u/v}$ son las fases por las que los espinores fundamentales tradicionalmente denotados como $u_s,v_s$ transformar. Estas fórmulas surgen porque, por ejemplo $\psi^+(x) = \sum_s \int u_s(\vec p) \exp(-\mathrm{i}px)a_s(\vec p)\mathrm{d}^3p$ de forma esquemática, y lo mismo para $\psi^{-c}$ . Se puede demostrar entonces que $b_u = -b_v$ y para $P\psi(x)P^{-1}$ ser propio de $\psi(Px)$ debemos entonces tener que $\eta^\ast = -\eta^c$ porque de lo contrario $\psi(x) = c_1 \psi^+(x) + c_2 \psi^{-c}$ no puede ser proporcional porque el signo relativo cambiaría en la paridad.
Para una derivación más detallada, véase "La teoría cuántica de los campos" de Weinberg, volumen 1, sección 5.5, como se sugiere en un comentario de TwoBs.
