Evaluar $\displaystyle\int\frac{du}{\sqrt{-xu^{2}+yu+z}}$

Question

Esta integral es sólo un paso en un problema mucho más largo para la física, pero estoy teniendo algunos problemas con ella.

$$\int\frac{ \mathrm du}{\sqrt{-xu^{2}+yu+z}}$$

$x$ , $y$ y $z$ son constantes

También si el $-$ delante del primer término es un problema (o cualquiera de los signos delante de cualquiera de las constantes), puedo arreglarlo fácilmente, ya que la mayoría de las constantes de la función son sólo marcadores de posición "ficticios" para otros términos.

Answer 1

Obsérvese que la pregunta dice que los signos no son realmente importantes aquí.

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$$I=\int\frac{\mathrm du}{\sqrt{-xu^{2}+yu+z}}=\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}$$

Uso de la sustitución de Euler $$\sqrt{ax^{2}+bx+c}=x\sqrt a+t\iff x=\frac{c-t^2}{2t\sqrt a-b}=\iff \mathrm dx=-\frac{2(\sqrt a(c+t^2)-bt)}{(2t\sqrt a-b)^2}\mathrm dt$$

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$$\begin{align}I&=\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}\\ &=\int\frac{1}{\left({t+\sqrt a\dfrac{(c-t^2)}{2t\sqrt a-b}}\right)}\cdot\left(-\frac{2(\sqrt a(c+t^2)-bt)}{(2t\sqrt a-b)^2}\right)\mathrm dt\tag{1}\\ &=\int\frac{2}{b-2t\sqrt a}\mathrm dt\tag{2}\\ &=\frac{1}{\sqrt a}\ln\Big(b-2t\sqrt a\Big)+C\tag{3}\\ I&=\frac{1}{\sqrt a}\ln\left[b-2\sqrt a\Big(\sqrt{ax^2+bx+c}-x\sqrt{a}\Big)\right]+C\tag{4}\\ \end{align}$$

$$\int\frac{dx}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}=\frac{1}{\sqrt a}\ln\left[b-2\sqrt a\Big(\sqrt{ax^2+bx+c}-x\sqrt{a}\Big)\right]+C$$

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$\text{Explanations}\\ 1.\text{ Euler Substitution}\\ 2. \text{ Magic }\\ 3. \text{ Integrating (2) }\\ 4. \text{ Putting Everything back }$

Answer 2

Sugerencia :

Completa el cuadrado bajo el radical para que su argumento sea algo parecido a $(x+a)^2 + c$ para algunos $a, c \in \mathbb{R}$ .

En ese momento, puedes terminar con una sustitución trigonométrica.