Correspondencia entre el conjunto de todos los $K$ -homorfismos lineales y conjunto de todos los idempotentes irreducibles

Question

Dejemos que $[K : k]$ sea una extensión de Galois. Demuestre que existe una biyección entre el conjunto de todos los $K$ -homomorfismos lineales $K\otimes_k K \to K$ y conjunto de todos los idempotentes irreducibles en $K\otimes_k K$ .

Aquí consideramos $K\otimes_k K$ como $K$ -que actúa como $a(v_1 \otimes v_2) = av_1 \otimes v_2$ .

Elemento $e$ se llama idempotente si $e^2=e$ .

Hay una pista: demostrar que cualquier homomorfismo de este tipo envía a cero todos los idempotentes irreducibles menos uno.

No se me ocurre cómo usarlo, pero aquí está mi intento: Considere la acción con la multiplicación de la izquierda por $1-e$ (si $e$ es un idempotente por lo que $1-e$ ), entonces asigna a cero todos los elementos de la forma $e\otimes v_2$ . Si $v_2 = w$ (Deja que $w$ sea otro idempotente en $K$ ), entonces $e \otimes w$ es un idempotente en $K\otimes_k K$ . Los problemas son que, en primer lugar, no estoy seguro de que cualquier idempotente arbitrario en $K \otimes_k K$ es un producto tensorial de $K$ idempotentes y, en segundo lugar, este mapa no lleva a cero todo excepto el elegido. Además, el homomorfismo arbitrario $K \otimes_k K \to K$ puede no ser una multiplicación con algún elemento idempotente.

¿Alguien puede explicarme cómo probar esta afirmación? Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Hay una descripción diferente de $K \otimes_k K$ como $K$ -álgebra. Por el teorema del elemento primitivo, se puede escribir $K = k(x)$ para algunos $x \in K$ . Sea $\mu$ sea el polinomio mínimo de $x$ Así que $K \cong k[T]/(\mu)$ como $k$ -algebras. Entonces como $K$ -algebras.

$$K \otimes_k K \cong k[T]/(\mu) \otimes_k K \cong K[T]/(\mu)$$

donde $K[T]/(\mu)$ es el ideal generado por $\mu$ en $K[T]$ no $k[T]$ . Desde $K/k$ es normal y separable, y $\mu$ tiene una raíz $x \in K$ sus raíces restantes $x = x_1, ... , x_n$ también se encuentran en $K$ y todos son distintos. Por lo tanto, $\mu = (T - x_1) \cdots (T - x_n)$ y por el teorema chino del resto,

$$K[T]/(\mu) \cong \prod\limits_{i=1}^n k$$

como anillos, donde el isomorfismo viene dado por $g + (\mu) \mapsto (g(x_1), ... , g(x_n))$ .

Si $(a_1, ... , a_n)$ es un elemento idempotente en $R = \prod\limits_{i=1}^n k$ entonces $a_i^2 = a_i$ en $k$ Por lo tanto $a_i$ es cero o uno. Así que vemos que hay $n$ elementos idempotentes irreducibles.

Por otro lado, el núcleo de un $K$ -homomorfismo de álgebra de $K[T]/(\mu)$ en $K$ debe ser un ideal máximo de $K[T]$ que contiene $\mu$ y las opciones son $(T - a_1), ... , (T - a_n)$ . Así que hay el mismo número de $K$ -homomorfismos de álgebra $K \otimes_k K$ en $K$ .