Si todos los círculos tienen curvatura geodésica constante, ¿la superficie tiene curvatura constante?

Question

Dejemos que $(S, g)$ sea una variedad bidimensional lisa conectada y dotada de una métrica suave de Riemann. Sea $\nabla$ sea la conexión Levi-Civita asociada. Consideremos una curva suave de velocidad unitaria $\gamma$ en $S$ que parametriza la frontera de un conjunto compacto simplemente conectado con frontera suave, y denotamos por $J_{\gamma}$ el único campo vectorial que apunta hacia el interior a lo largo de $\gamma$ tal que $\{ \dot{\gamma}, J_\gamma\}$ es un marco ortonormal. Sea $D_t$ denotan la diferenciación covariante a lo largo de $\gamma$ . Desde $g(\dot{\gamma}, \dot{\gamma}) = 1$ La compatibilidad de la conexión Levi-Civita muestra $g(D_t \dot{\gamma}, \dot{\gamma}) = 0$ . Por lo tanto, la expansión ortonormal muestra $D_t \dot{\gamma} = g(D_t \dot{\gamma}, J_\gamma) J_\gamma$ . Y así el curvatura geodésica con signo en un punto de la curva de velocidad unitaria $\gamma$ se define como el valor de $g(D_t \dot{\gamma}, J_\gamma)$ en ese punto, y esta expresión muestra el curvatura geodésica sin signo por definición $|D_t \dot{\gamma}|$ es igual al valor absoluto de la curvatura geodésica con signo. Véase [0] para los antecedentes de estos conceptos y este hilo para ver una historia interesante sobre la curvatura de las curvas.

Existen al menos dos conceptos distintos en la geometría riemanniana que generalizan el concepto de círculo en la geometría euclidiana. Obsérvese que un bola geodésica es la imagen difeomorfa (!) de un disco centrado en el origen bajo un mapa exponencial en un punto. A círculo geodésico es el límite de una bola geodésica. El Distancia riemanniana entre dos puntos en $S$ es el mínimo de las longitudes de las curvas regulares a trozos que las conectan. A círculo métrico es el lugar de los puntos de una superficie que tienen una distancia riemanniana constante a un punto dado. La proposición 6.11 de [0] muestra que un círculo geodésico es un círculo métrico. Un conjunto es geodésicamente convexo si cada par de puntos está conectado por una única geodésica minimizadora. Puesto que las curvas minimizadoras son geodésicas hasta la reparametrización (Teorema 6.4 de [0]), y las variedades riemannianas son localmente geodésicamente convexas (Teorema 6.17 de [0]), los círculos métricos suficientemente pequeños son círculos geodésicos. Por tanto, estos dos conceptos son localmente iguales.

Otro concepto que generaliza el círculo euclidiano es el de curva cerrada con curvatura geodésica constante; especifico curva cerrada porque el plano hiperbólico tiene curvas de curvatura geodésica constante que no son curvas cerradas. Mi pregunta es sobre la caracterización del caso de que este concepto coincida localmente con los dos anteriores. Hay varias preguntas en este sitio web que piden demostrar que los círculos geodésicos sobre superficies de curvatura constante tienen curvatura geodésica constante. Así que mi pregunta concreta es una especie de inversión de esto.

\begin{align*} &\textrm{If every point in $S$ has a neighborhood such that all geodesic circles within the neighborhood } \\ &\textrm{and centered the point have constant geodesic curvature, does $S$ have constant curvature?} \end{align*}

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[0] Lee, John M. , Introducción a las variedades riemannianas , Textos de Posgrado en Matemáticas 176. Cham: Springer (ISBN 978-3-319-91754-2/hbk; 978-3-319-91755-9/ebook). xiii, 437 p. (2018). ZBL1409.53001 .

Answer 1

La respuesta a la pregunta concreta es sí. Una buena forma de entender esta cuestión es determinar la métrica en coordenadas polares geodésicas de la forma más explícita posible. Este es el camino que seguí en la respuesta original, pero un moderador me informó de que era demasiado larga para MSE. Me sugirieron amablemente que trasladara la respuesta original a una página web personal aparte y que acortara esta respuesta. Puedes ver la respuesta original aquí . Entro en mucho más detalle y proporciono derivaciones / pruebas para los diversos lemas. También demuestro algunas caracterizaciones similares de superficies de curvatura constante.

(Debería añadir este texto del mensaje del moderador, "Tenga en cuenta que tampoco animamos a los usuarios a que proporcionen continuamente respuestas cuya integridad dependa de enlaces a páginas web externas o a blogs personales, y que la sugerencia que aquí se hace pretende ofrecer un compromiso para esta "ocurrencia única". ")

Primero demostremos que para cada punto $p \in S$ si todos los círculos geodésicos concéntricos dentro de una bola geodésica centrada en $p$ tienen una curvatura geodésica constante, entonces la curvatura es una función sólo de la distancia a $p$ . Esto se puede encontrar esencialmente en un documento de 1901 [1] de J. K. Whittemore.

Consideremos una base ortonormal $e_1, e_2$ de $T_pS$ . $$x(\rho, \theta) := \exp_p(\phi (\rho, \theta)) := \exp_p(\rho \cos(\theta)\ e_1 + \rho \sin(\theta)\ e_2)$$ es un mapa polar geodésico , donde $\exp_p$ es el mapa exponencial en $p$ . Obsérvese que el pushforward $\phi_\ast \frac{\partial}{\partial \theta}$ de $\frac{\partial}{\partial \theta}$ está bien definido y es igual a $0$ cuando $\rho = 0$ . $\phi_\ast \frac{\partial}{\partial \rho}$ sólo está bien definida cuando $\rho > 0$ Sin embargo. Por lo tanto, lo mismo ocurre con $x_\ast \frac{\partial}{\partial \theta}$ y $x_\ast \frac{\partial}{\partial \rho}$ para lo suficientemente pequeño $\rho$ , como $\exp_p$ es un difeomorfismo en alguna vecindad del origen.

Definimos los coeficientes métricos $E = E(\rho, \theta)$ , $F = F(\rho, \theta)$ , $G = G(\rho, \theta)$ por

\begin{align*} \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix} := \begin{bmatrix} g\left(x_\ast\frac{\partial}{\partial \rho}, x_\ast\frac{\partial}{\partial \rho}\right) & g\left(x_\ast\frac{\partial}{\partial \rho}, x_\ast\frac{\partial}{\partial \theta}\right) \\ g\left(x_\ast\frac{\partial}{\partial \theta}, x_\ast\frac{\partial}{\partial \rho}\right) & g\left(x_\ast\frac{\partial}{\partial \theta}, x_\ast\frac{\partial}{\partial \theta}\right) \end{bmatrix} . \Fin

El lema 8.1.6 de [2] dice $E = 1$ , $F = 0$ y $G > 0$ , salvo en el caso de $(0, \theta)$ para cualquier $\theta$ , donde $G = 0$ . En particular, $E = 1$ significa que las geodésicas radiales son curvas de velocidad unitaria, y $F = 0$ significa que las circunferencias geodésicas son ortogonales a las geodésicas radiales; esto se llama Lemma de Gauss, y lo demuestro en la respuesta original. Estos hechos demuestran $J_{x(\theta, \rho_0)} = -x_{\ast} \frac{\partial}{\partial \rho}$ .

El campo vectorial de la velocidad $\nu$ de una velocidad unitaria reparametrizada $\theta$ es la restricción de $\frac{x_\ast \frac{\partial}{\partial \theta}}{\sqrt{G}}$ a la curva, por lo que $D_\theta\nu = \nabla_{\frac{x_\ast \frac{\partial}{\partial \theta}}{\sqrt{G}}}\frac{x_\ast \frac{\partial}{\partial \theta}}{\sqrt{G}}$ por el hecho de ser fijo $\rho > 0$ . A partir de esto se puede demostrar (ver respuesta original) que la curvatura geodésica con signo a lo largo de la reparametrizada $\theta$ curva es \begin{align*} \kappa = \frac{(\sqrt{G})_\rho}{\sqrt{G}}. \end{align*}

Este es un caso especial de la fórmula de Liouville para la curvatura geodésica con signo. Véase [3] para la fórmula de Liouville.

Para variar $\rho$ y se fijó $\theta$ Esto da la ecuación lineal de primer orden $(\sqrt{G})_\rho(\rho, \theta) - \kappa(\rho) \sqrt{G}(\rho, \theta) = 0$ . La hipótesis principal del problema es que $\kappa$ es independiente de $\theta$ , suponiendo que $\rho$ es lo suficientemente pequeño. Por lo tanto, la solución de esta ecuación viene dada por $\sqrt{G} = e^{U + V}$ para alguna antiderivada $U = U(\rho)$ de $\kappa$ y alguna función $V = V(\theta)$ . En el teorema 8.3.3 de [2] O'Neill muestra $\lim_{\rho \to 0} (\sqrt{G})_\rho(\rho, \theta) = 1$ . Una aplicación del Teorema del Valor Medio muestra además que $(\sqrt{G})_\rho(0, \theta) = 1$ . Lo demuestro en la respuesta original.

Nuestra solución para $\sqrt{G}$ junto con $(\sqrt{G})_\rho(0, \theta) = 1$ implica $$1 = U'(0)e^{U(0) + V(\theta)},$$ lo que implica que $V$ es una función constante, ya que esto es válido para todo $\theta$ ; necesitábamos el hecho de que $U$ es independiente de $\theta$ para concluir que $V$ es constante. Por lo tanto, $G$ es una función sólo de $\rho$ . Como la curvatura depende de la métrica, podríamos concluir ahora que la curvatura depende sólo de $\rho$ . En lugar de dejarlo así, vamos a dar una fórmula precisa para $K$ en coordenadas polares geodésicas. Esto conducirá eventualmente a fórmulas útiles para $\sqrt{G}$ y, por tanto, para la métrica en una bola geodésica.

Considere la Endomorfismo de curvatura de Riemann , $$R(X, Y)Z := \nabla_{X}\nabla_{Y} Z - \nabla_{Y}\nabla_{X} Z - \nabla_{[X, Y]}Z.$$ La curvatura de la sección en un punto $p$ de un subespacio bidimensional $W$ de $T_pM$ en una variedad riemanniana $M$ es $$K(W) = K(X, Y) := \frac{g(R(X, Y)X, Y)}{g(X, X) g(Y, Y) - g(X, Y)^2},$$ donde $\{X, Y\}$ es cualquier marco que abarque $W$ en $p$ . (Esta es la versión que utiliza do Carmo en [4]. Lee [0] intercambia el segundo $X$ y $Y$ en el numerador). Para entender esta fórmula, intuitivamente el numerador es como un determinante de la segunda forma fundamental ofuscado. Como sólo hay un subespacio bidimensional de $T_pS$ la fórmula dada determina una función suave $K$ en la superficie, llamado la curvatura.

Puedes demostrar (posiblemente leyendo mi respuesta original) que \begin{align*} K = -\frac{(\sqrt{G})_{\rho\rho}}{\sqrt{G}}. \end{align*}

Por tanto, tenemos la siguiente ecuación diferencial de segundo orden para $\sqrt{G}$ , $$(\sqrt{G})_{\rho\rho} + K\sqrt{G} = 0.$$

Bajo la suposición de que los círculos geodésicos suficientemente pequeños tienen una curvatura geodésica constante, hemos demostrado que $\sqrt{G}$ es una función sólo de $\rho$ . Por lo tanto, podemos concluir que $K = -\frac{\sqrt{G})_{\rho\rho}}{\sqrt{G}}$ es una función sólo de $\rho$ . Mostrar esto era nuestro primer objetivo, y con esto casi hemos terminado.

Dejemos que $p \in S$ y considerar una bola geodésica $B$ tal que todos los círculos concéntricos de $p$ en $B$ tienen una curvatura geodésica constante. Sea $q \in B$ para que $q$ está en el límite de uno de los círculos concéntricos $C$ de $p$ que se encuentra en $B$ . Por supuesto, $q$ tiene una bola geodésica $D$ tal que todos los círculos concéntricos de $q$ en $D$ tienen una curvatura geodésica constante. El hecho principal que hemos demostrado es que la curvatura de $S$ es constante a lo largo de $C$ . Todos los círculos geodésicos concéntricos suficientemente pequeños de $q$ intersección $C$ . Esto se debe a que $\exp_q$ es un difeomorfismo localmente y lo mismo ocurre con la preimagen local de la curva suave $C$ por $\exp_q$ . Por lo tanto, todos los puntos en círculos concéntricos suficientemente pequeños de $q$ tienen la misma curvatura que los puntos de $C$ por lo que la curvatura es constante en una vecindad de $q$ . Este argumento se aplica a todos los puntos de $C$ Así que $C$ tiene una vecindad con curvatura constante. Tomando la unión de tales vecindades sobre todos los círculos concéntricos de $p$ más pequeño que $C$ muestra que $p$ tiene una vecindad con curvatura constante. Por último, la conectividad de $S$ muestra que $S$ tiene una curvatura constante.

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Bibliografía

[0] Lee, John M. , Introducción a las variedades riemannianas , Textos de Posgrado en Matemáticas 176. Cham: Springer (ISBN 978-3-319-91754-2/hbk; 978-3-319-91755-9/ebook). xiii, 437 p. (2018). ZBL1409.53001 .

[1] Whittemore, J. K. , Una nota sobre los círculos geodésicos. , Anales de Matemáticas. (2) 3, 21-24 (1901). ZBL32.0615.02 .

[2] O'Neill, Barrett , Geometría diferencial elemental (Rev. 2ª ed.), Amsterdam: Elsevier/Academic Press (ISBN 978-0-12-088735-4/hbk). xii, 503 p. (2006). ZBL1208.53003 .

[3] do Carmo, Manfredo Perdigão , Differential geometry of curves and surfaces, Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, Inc. VIII, 503 p. $ 22.50 (1976). ZBL0326.53001 .

[4] do Carmo, Manfredo Perdigão , geometría riemanniana. Traducido del portugués por Francis Flaherty, Mathematics: Theory & Applications. Boston, MA etc.: Birkhäuser. xiii, 300 p. (1992). ZBL0752.53001 .