Aquí es una prueba de que el ideal de la norma, como se define en los libros de Serre y Lang es igual al ideal de la norma, como se define en Swinnerton-Dyer del libro. Vamos a empezar a partir de la definición dada por Serre y Lang, estado de algunas de sus propiedades, y las usan para derivar la fórmula dada por Swinnerton-Dyer.
Antecedentes: Vamos a $A$ ser un dominio de Dedekind con fracción de campo $K$, $L/K$ ser finito, separables de extensión, y $B$ ser la integral de cierre de $A$$L$. Para cualquier prime $\mathfrak P$ $B$ definimos ${\rm N}_{B/A}({\mathfrak P}) = \mathfrak p^f$ donde $f = f({\mathfrak P}|{\mathfrak p})$ es el residuo de campo grado de $\mathfrak P$$\mathfrak p$, y esta norma función se extiende a todos los distinto de cero ideales de $B$ por multiplicativity a partir de su definición en (distinto de cero) de los números primos en $B$.
Propiedades.
1) El mapa de ${\rm N}_{B/A}$ es multiplcative (inmediata a partir de su definición).
2) el Buen comportamiento de los menores de localización: para cualquier (distinto de cero) prime ${\mathfrak p}$ en $A$, ${\rm N}_{B/A}({\mathfrak b})A_{\mathfrak p} = {\rm N}_{B_{\mathfrak p}/A_{\mathfrak p}}({\mathfrak b}B_{\mathfrak p})$. Tenga en cuenta que $A_{\mathfrak p}$ es un PID y $B_{\mathfrak p}$ es integral, cierre en $L$; el ideal de la norma en el lado derecho se define por la anterior definición de dominios de Dedekind, pero es más fácilmente computable porque $B_{\mathfrak p}$ es de un número finito de libre $A_{\mathfrak p}$-módulo en la cuenta de $A_{\mathfrak p}$ ser un PID y $L/K$ son separables. La prueba de este buen comportamiento en función de la localización se omite, pero usted debe encontrar en libros como los de Serre o Lang.
3) Para un valor distinto de cero $\beta$ en $B$, ${\rm N}_{B/A}(\beta{B}) = {\rm N}_{L/K}(\beta)A$, donde la norma de $\beta$ en el de la derecha es el campo de la teoría de la norma (determinante de la multiplicación por $\beta$ $K$- lineal mapa en $L$). Para demostrar esta fórmula, es suficiente para comprobar ambos lados localizar la misma manera para todos (distinto de cero) de los números primos $\mathfrak p$: ${\rm N}_{B_{\mathfrak p}/A_{\mathfrak p}}(\beta{B}_{\mathfrak p}) = N_{L/K}(\beta)A_{\mathfrak p}$ para todos los $\mathfrak p$. Si usted sabe cómo demostrar a través de los enteros que $[{\mathcal O}_F:\alpha{\mathcal O}_F] = |{\rm N}_{F/{\mathbf Q}}(\alpha)|$ para cualquier campo de número de $F$, entonces espero que el método que usted sabe que puede ser adaptado para el caso de $B_{\mathfrak p}/A_{\mathfrak p}$, en sustitución de ${\mathbf Z}$ con el PID $A_{\mathfrak p}$. Eso es todo, no tengo tiempo para decir ahora acerca de la explicación de la igualdad después de la localización.
Ahora estamos listos para mostrar ${\rm N}_{B/A}({\mathfrak b})$ es igual a la ideal en $A$ generado por todos los números de ${\rm N}_{E/F}(\beta)$ $\beta$ ejecuta a través de $\mathfrak b$.
Para cualquier $\beta \in \mathfrak b$,$\beta{B} \subset \mathfrak b$, lo ${\mathfrak b}|\beta{B}$. Desde ${\rm N}_{B/A}$ es multiplicativo, ${\rm N}_{B/A}({\mathfrak b})|{\rm N}_{E/F}(\beta)A$ como ideales en $A$. En particular, ${\rm N}_{E/F}(\beta) \in {\rm N}_{B/A}({\mathfrak b})$. Deje $\mathfrak a$ ser el ideal en $A$ generado por todos los números de ${\rm N}_{E/F}(\beta)$, por lo que nos han mostrado $\mathfrak a \subset {\rm N}_{B/A}(\mathfrak b)$, o, equivalentemente,${\rm N}_{B/A}(\mathfrak b)|\mathfrak a$. Para probar esta divisibilidad es una igualdad, elija cualquiera de potencia principal ${\mathfrak p}^k$ dividiendo $\mathfrak a$. Vamos a mostrar a ${\mathfrak p}^k$ divide ${\rm N}_{B/A}(\mathfrak b)$.
Para demostrar ${\mathfrak p}^k$ divide ${\rm N}_{B/A}(\mathfrak b)$ al ${\mathfrak p}^k$ divide $\mathfrak a$, basta con mirar en la localización de la $A$ $\mathfrak p$ y demostrar ${\mathfrak p}^kA_{\mathfrak p}$ divide ${\rm N}_{B/A}(\mathfrak b)A_{\mathfrak p}$, que la 2ª a la propiedad de ideal de las normas es igual a ${\rm N}_{B_{\mathfrak p}/A_{\mathfrak p}}(\mathfrak b{B_{\mathfrak p}})$. Desde $B_{\mathfrak p}$ es un PID, el ideal de la ${\mathfrak b}B_{\mathfrak p}$ es la principal: deje $x$ ser un generador, y podemos elegir el $x$ a venir de $\mathfrak b$ sí. Por el 3er propiedad de ideal normas, ${\rm N}_{B_{\mathfrak p}/A_{\mathfrak p}}(xB_{\mathfrak p}) = {\rm N}_{E/F}(x)A_{\mathfrak p}$.
Mostrando ${\mathfrak p}^kA_{\mathfrak p}$ divide ${\rm N}_{E/F}(x)A_{\mathfrak p}$ es la muestra de ${\rm N}_{E/F}(x) \in {\mathfrak p}^kA_{\mathfrak p}$. Desde $x$ es en el $\mathfrak b$, ${\rm N}_{E/F}(x) \in \mathfrak a \subset {\mathfrak p}^k$, por lo ${\rm N}_{E/F}(x) \in {\mathfrak p}^kA_{\mathfrak p}$. QED
