$f\circ g(x)=(x-1)^3$ y $g\circ f(x)=(x-1)^5$ . Encuentra la ecuación de las funciones.
Lo he intentado por ensayo y error, no he podido encontrar la respuesta.
Pregunta de Jalil Hajimir
Respuesta
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No existe una solución general. Tomemos cualquier función $f$ en $\mathbb R$ Satisfaciendo a $$f((x-1)^5)=(f(x)-1)^3$$ ¡Y corresponde a una solución de su problema !
Primer aviso que dado $f\circ g$ y $g\circ f$ son biyectivas, y por lo tanto $f$ y $g$ son también biyectivas (porque la composición de dos funciones es biyectiva implica que la función interna es inyectiva y la externa es sobreyectiva). Ahora, definamos $g$ para ser función inversa de $x\mapsto1+(f(x))^\frac{1}{3}$ . Ahora, $$(f\circ g)^{-1}(x)=(g^{-1}\circ f^{-1})(x)$$ $$=1+x^\frac{1}{3}$$ $$\implies f\circ g(x)=(x-1)^3$$ De la misma manera, $$(g\circ f)^{-1}(x)=(f^{-1}\circ g^{-1})(x)$$ $$=f^{-1}(1+(f(x))^\frac{1}{3})$$ $$=^*1+x^\frac{1}{5}$$ $$\implies g\circ f(x)=(x-1)^5$$ *Este paso se desprende de la definición de $f$ , tomar los inversos de ambos lados.
