¿Cuál es la varianza de la suma de X cartas de una baraja de 52 cartas sin reemplazo?

Question

Tengo curiosidad por saber si hay una forma de aproximar la varianza de la suma de cartas de una baraja de 52 cartas.

Supongamos que A = 1, J = 11, Q = 12 y K = 13

Por ejemplo, la varianza de una carta es 14. La varianza de la suma de dos cartas, sin embargo, ya se convertirá en algo más instensivo si se calcula a mano/en cabeza.

El valor mínimo es AA = 2 y el máximo es KK = 26. La media es (2)(7) = 14. ¿Conoces alguna forma de aproximar la varianza con y/o sin reemplazo sin tener que escribirlo todo? Si no, ¿cómo lo harías?

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $X_i$ sea el valor del $i$ 'th card. Te interesa $S=\sum_{i=1}^nX_i$ . Específicamente, usted quiere la varianza que es, por linealidad:

$\mbox{Var}(S)=\sum_{i=1}^n \mbox{Var}(X_i)+2\sum_{i<j}\mbox{Cov}(X_i,X_j).$

Las variaciones individuales son fáciles si te das cuenta de que aunque $X_i$ no son independientes, su distribución conjunta es invariable bajo permutaciones. Esto implica:

$$\mbox{Var}(X_i)=\mbox{Var}(X_1)=E[X_1^2]-E[X_1]^2=\frac{4}{52}(1^2+2^2+\cdots+13^2)-[\frac{4}{52}(1+2+\cdots+13)]^2.$$

Las covarianzas son similares, pero un poco molestas. Hay que calcular $E[X_iX_j]-E[X_j]E[X_j]$ . El único término difícil es el primero. Fijar $X_i$ . Entonces

$E[X_iX_j]=E[X_i E[X_j|X_i]]=E\left[X_i\left[\frac{4}{51}(1+\cdots+13)-\frac{1}{51}X_i\right]\right],$

donde contabilizamos el uso de la tarjeta $X_i$ . Ahora utilice la linealidad y los resultados de la varianza individual de arriba.

Answer 2

La pregunta real es más bien: cuál es la pdf f(x) para el evento elegido, al menos para la respuesta exacta. Una vez que se tiene el pdf, el cálculo de la varianza es un ejercicio de suma. La varianza es el segundo momento central de una distribución de la variable x, donde x en tu caso es la suma de n cartas extraídas al azar: $$x = \sum_1^n card_n$$ $$\sigma^2 = E[(x - \mu)^2]$$

Obtener una única expresión para cada posible suma de (1, 2, 3, 4, ..., 51, 52) tarjeta(s) puede no ser fácil ni bonito.

En lo que respecta a las varianzas aproximadas, preferiría escribir un pequeño programa que hiciera la suma aleatoria por ti y realizara un histograma del resultado, y extrajera la varianza del histograma. La obtención de un error exacto para el resultado también podría ser un poco más complicado, pero para una buena estimación sólo hay que asegurarse de que el histograma es "suave" y los errores individuales para cada casilla (== resultado) son pequeños -- tomar suficientes muestras.