Teorema del valor medio

Question

Demostrar que si $f$ es una función diferenciable en $(0,\infty)$ y $f$ y $f'$ ambos tienen límites finitos en el infinito, entonces lim como $x$ va al infinito de $f'(x) = 0$ . Sugerencia: aplicar el Teorema del Valor Medio a $f$ para grandes valores de $a$ y $b$ .

Answer 1

Dejemos que $L=\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)$ existe $N$ tal que $x>N$ implica que $\mid f(x)-L\mid <1$ para cada número entero $n>N$ , $f(n+n)-f(n)=f'(c_n)n$ , $c_n\in [2n,n]$ .

Esto implica que $\mid f(n+n)-f(n)\mid =n\mid f'(c_n)\mid <1$ esto implica que $\mid f'(c_n)\mid< 1/n$ ya que $\lim_nc_n=+\infty$ y $\lim_{x\rightarrow +\infty}f'(x)$ existe, se deduce que $\lim_{x\rightarrow +\infty}f'(x)=0$ .