¿Cuántas cifras significativas son apropiadas cuando se crea un nuevo dígito?

Question

El otro día, en mi clase de química, estábamos trabajando en una pregunta sobre la masa atómica media. Nos dieron la siguiente información sobre dos isótopos de boro:

Boro-10: Masa atómica = 10.013 , % en la naturaleza: 19.8%

Boro-11: Masa atómica = 11.009 , % en la naturaleza: 80.2%

Para la media ponderada (antes del redondeo de sig), entonces, el Boro 10 aporta 10,013*.198 = 1,982574 UMA y el Boro 11 contribuye con 11,009*.802 = 8,829218 UMA .

Ahora bien, si sólo encontráramos uno de estos valores, informaríamos de 1,98 u 8,93 UMA (a 3 cifras sig). Sumando estos valores, obtenemos 10,81 UMA . Sin embargo, si seguimos la "convención" y hacemos todos los redondeos al final, obtenemos 10,8 UMA (3 figuras sig).

Mi pregunta es, ¿cuál de ellas es correcta? Por un lado, el 10,8 es correcto, ya que tiene el mismo número de cifras sig que el valor menos preciso dado (19,8% u 80,2%). Por otro, ¿por qué deberíamos pasar de la precisión de centésimas a la de décimas sólo porque tenemos un nuevo dígito en la posición menos precisa? Se podría argumentar que el "10" es esencialmente su propio dígito.

Personalmente, estoy de acuerdo con la respuesta aquí ( Interpretación de las cifras significativas ) que dice que los higos sig no tienen mucho sentido. Pero a los efectos de esta pregunta, ¿cuál es la forma adecuada de expresar la respuesta?

Gracias de antemano.

Answer 1

En realidad, tienes razón: cuando se suman cifras significativas, se mantiene la última cifra significativa más grande entre los dos números. Por ejemplo, $15.31+2.2=17.5$ . En cambio, cuando se multiplican números, se mantiene el mismo número de cifras significativas. Usando los mismos números, $15.31*2.2=34$ . Aunque esta decisión pueda parecer arbitraria, hay una buena razón detrás de ella.

Como no sabemos nada más allá de las décimas sobre $2.2$ digamos que este número es en realidad $2.2x$ donde $x$ es un dígito que haría que este número se redondeara hacia abajo (valor entre 0 y 4). $15.31+2.2x = 17.5[x+1]$ (donde un número entre paréntesis es un dígito que es el resultado de un cálculo. Puede pasar al siguiente lugar, pero por razones que explicaré más adelante, suponemos que no lo hace). Como ahora no sabemos nada del lugar de la centésima después de sumar estos dos números, no podemos incluirlo en nuestro resultado.

Lo mismo ocurre con la multiplicación, $15.31 * 2.2x = 33.[6+x][8+5x][2+3x][x].$ Como no sabemos nada sobre el valor de $x$ no sabemos nada después del punto decimal. Porque nuestro siguiente dígito está garantizado para redondear hacia arriba, independientemente del valor de $x$ redondeamos para obtener $15.31*2.2x=34$ . No es un caso especial. De hecho - el número de dígitos que no dependerá del valor de $x$ es siempre igual al número de cifras significativas de ese número (esto es - de nuevo - porque asumimos que $x$ no causará el arrastre de un dígito), lo que nos da nuestra regla de multiplicación para las cifras significativas.

Ahora, por qué está bien asumir que $x$ no provocará el arrastre de un dígito. Cuando registre un valor experimental, se supone que debe registrar un dígito más de lo que su dispositivo puede diferenciar (por ejemplo, adivinar la ubicación de un menisco entre dos números en un cilindro graduado). Por lo tanto, el último dígito que utilizas en tus cálculos es inexacto de todos modos. Por ello, es seguro asumir que $x$ no causó ningún desbordamiento adicional. Si asumiéramos que x se desbordó, entonces podría causar que su dígito dudoso también se llevara, lo que resultaría en números que no concuerdan con el valor medido.

Espero que esto ayude (sé que he entrado en mucho más detalle del que buscabas).

Answer 2

La forma en que se enseñan las cifras significativas es un atajo para un método más exacto, ya que no se suele dar la precisión exacta de las cifras originales. Así, se supone que 0,198 es +/-0,0005.

Muchos artículos científicos utilizan algo así como 0,1976 +/-0,0014 para indicar la "verdadera" desviación estándar del valor. "Verdadera" significa, por supuesto, la mejor estimación desde el verdadero La desviación estándar no se puede conocer. Por lo tanto, el error relativo es $\dfrac{0.0014}{0.1976} = 0.709 \%$ . Esto es bastante incómodo para el cálculo de la prórroga del error, ya que no es +/- 1 dígito en la cifra menos significativa.

Obviamente, 10,013*0,198 = 1,982574 UMA es injustificable. Tener siete cifras significativas es simplemente erróneo. El valor ponderado de la UMA no puede tener siete cifras significativas cuando el porcentaje de peso sólo se conoce con tres cifras significativas. Sin embargo, normalmente las cifras significativas adicionales se llevan en los cálculos intermedios y sólo se redondea la respuesta final.

Llevar esos dígitos extra en los cálculos intermedios no es un problema con una calculadora moderna. En los "viejos tiempos", cuando se utilizaba una regla de cálculo, el límite eran tres cifras significativas en los cálculos intermedios. Las tablas logarítmicas permitían cuatro cifras significativas.

La idea es que, como los porcentajes tienen tres cifras significativas, la respuesta debe redondearse a tres cifras significativas. Por tanto, la respuesta es efectivamente 10,8 UMA.

Ahora, utilizando un ordenador moderno, todos los valores podrían ser muestreados aleatoriamente. Así, por ejemplo, se podría suponer que el valor de 0,198 tiene una desviación estándar de 0,0005 y tratar las demás variables del mismo modo. A continuación, los valores muestreados podrían utilizarse para una serie de cálculos. A continuación, se podría calcular una media y una desviación estándar de las distintas respuestas finales. Este tipo de trituración está realmente más allá del esfuerzo humano razonable, pero no es un problema para un ordenador.