Ecuación geodésica en una submanifold de codimensión 1 de $\mathbb{R^{n+1}}$

Question

La sección 8.4.3 del libro de texto de Taubes sobre Geometría Diferencial, del que me estoy autoestudiando, es la siguiente

¿Cuál es esa conveniente tabla de coordenadas a la que se refiere Taubes? ¿Podría alguien proporcionarme una prueba de que la ecuación geodésica tiene la forma que el autor describe?

Edición: Debería aclarar lo que quiere decir con una geodésica. Una geodésica es una curva que satisface la ecuación de la siguiente imagen

Answer 1

No estoy seguro de que sean exactamente las coordenadas que Taubes está insinuando, pero yo elegiría coordenadas cartesianas para $\mathbb R^{n+1}$ centrado en un punto $p\in \Sigma$ tal que $e_1,\ldots,e_n$ es una base para $T_p \Sigma$ . En estas coordenadas, $\Sigma$ es localmente la gráfica de alguna función $f : \mathbb R^n \to \mathbb R$ con $f(0)=0, \nabla f(0) = 0;$ por lo que podemos utilizar la primera $n$ coordenadas como un gráfico de coordenadas para $\Sigma.$ El plan es demostrar que las dos ecuaciones son equivalentes en el punto $p$ , utilizando $\nabla f(0) = 0$ para simplificar enormemente los cálculos. La métrica es simplemente $$g_{ij} = (e_i + \partial_i f e_{n+1})\cdot(e_j + \partial_j f e_{n+1}) = \delta_{ij} + \partial_i f\, \partial_j f,$$ y puede comprobar que $$n = \frac{e_{n+1} - \sum_j \partial_j f\, e_j}{\sqrt{1+|\nabla f|^2}}$$ es un campo vectorial normal unitario.

Si $\gamma$ es una curva en $\Sigma$ con $\gamma(0)=p$ entonces sus componentes en $\mathbb R^{n+1}$ son simplemente $x = (\gamma^1, \ldots, \gamma^n,f(\gamma)).$ Desde $\nabla f=0$ en el origen, vemos que las derivadas de $g$ se desvanecen allí; así que $\Gamma(p) = 0$ y por tanto la ecuación geodésica en este punto es simplemente $\ddot \gamma(0) = 0.$ Por otro lado, diferenciando la normal unitaria y evaluando en $p$ produce $\partial_k n (p) = -\sum_{j} \partial_k \partial_j f\, e_j$ por lo que la ecuación dada en $\mathbb R^{n+1}$ se reduce a $$\ddot x(0) = \partial_k \partial_j f(0)\,\dot \gamma^j \dot \gamma^k \, e_{n+1}. \tag 1$$ Diferenciando $x = (\gamma(t),f(\gamma(t)))$ dos veces y evaluando en $p$ encontramos $$\ddot x(0) = (\ddot \gamma(0), \partial_i \partial_j f(0) \dot \gamma^i \dot \gamma^j);$$ así que en $p$ la ecuación geodésica $\ddot \gamma(0) = 0$ equivale a $(1).$