Suma de una serie infinita de integrales entre dos límites

Question

El Teorema Fundamental del Cálculo establece que: $$\int_a^ b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$ También sabemos que cualquier integral definida de cualquier función limitada por los mismos dos puntos es igual a cero. $$\int_a^ a f(x) \, dx = 0$$ Entonces, mi pregunta es, si sumamos un número infinito de integrales de una función cuyos límites son los mismos dentro de cada integral pero incrementados en un número muy, muy pequeño entre cada integral subsiguiente, ¿será igual a la integral limitada por los dos puntos explícitos o cero? Perdona si esta pregunta es confusa, espero que la notación de abajo lo describa mejor. $$\int_a^ b f(x) \, dx = \int_a^{a} f(x) \, dx + \int_{a+n}^{a+n} f(x) \, dx + \int_{a+2n}^{a+2n} f(x) \, dx + ...+\int_{b}^{b} f(x) \, dx$$ Donde n es un número muy, muy pequeño. Esto me confunde, porque yo supondría que cada una de estas integrales individuales es igual a cero.

Editar: Puedes dividir una integral como se muestra a continuación: $$\int_0^a f(x) \, dx = \int_{0}^{a/2} f(x) \, + \int_{a/2}^{a} f(x) \,$$ ¿Por qué una vez que los límites son los mismos entre cada integral dividida, de repente será igual a cero?

Answer 1

No.

Has escrito $[a, b]$ como una unión de puntos, lo cual no es correcto. Deberías escribirlo como una unión de intervalos abiertos.

Answer 2

Asumiendo la existencia de una primitiva que has escrito $$F(a)-F(a)+F(a+n)-F(a+n)+.....+F(b)-F(b)\ne F(b)-F(a)$$

Answer 3

En realidad, estarías realizando un límite.

Ver que

$$\int_0^af(x)dx=\int_0^{a_1}f(x)dx+\int_{a_1}^af(x)dx$$

$$=\int_0^{a_1}f(x)dx+\int_{a_1}^{a_2}f(x)dx+\int_{a_2}^af(x)dx$$

$$\vdots$$

$$=\int_0^{a_1}f(x)dx+\int_{a_1}^{a_2}f(x)dx+\dots \int_{a_n}^af(x)dx$$

Para alguna secuencia $0<a_1<a_2<a_3<\dots<a_n<a$ .

Para simplificar, tenga $\epsilon>0$ .

$$\int_0^af(x)dx=\underbrace{\int_0^{\epsilon}f(x)dx+\int_{\epsilon}^{2\epsilon}f(x)dx+\int_{2\epsilon}^{3\epsilon}f(x)dx+\dots \int_{a-\epsilon}^af(x)dx}_{a/\epsilon}$$

En particular, queremos tomar el límite $\epsilon\to0^+$ . Hacer esto nos da

$$\lim_{\epsilon\to0^+}\underbrace{\int_0^{\epsilon}f(x)dx+\int_{\epsilon}^{2\epsilon}f(x)dx+\int_{2\epsilon}^{3\epsilon}f(x)dx+\dots \int_{a-\epsilon}^af(x)dx}_{a/\epsilon}=0\times\infty$$

que es un límite de la forma $0\times\infty$ . Esto permite que se evalúe a algún valor.

También hay que tener en cuenta que la evaluación del límite es equivalente a las sumas de Riemann.

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Su intento de disfrazarse:

$$\int_0^af(x)dx=\int_0^0f(x)dx+\int_a^af(x)dx$$

$$=\int_0^0f(x)dx+\int_{a/2}^{a/2}f(x)dx+\int_a^af(x)dx$$

$$\vdots$$

$$\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^0 f(x) \, dx + \int_{n}^{n} f(x) \, dx + \int_{2n}^{2n} f(x) \, dx + ...+\int_{a}^a f(x) \, dx$$

¿Ves la diferencia en cómo construimos la expansión?

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Además, ten en cuenta que tu idea del límite es incorrecta, como puedes comprobar con el siguiente límite:

$$\lim_{n\to\infty}\underbrace{\frac1n+\frac1n+\frac1n+\dots\frac1n}_n=1$$

a pesar de que los términos individuales se acercan $0$ el límite total es igual a $1$ .

Answer 4

Su ecuación no es cierta.

Para hablar de integrales hay que definir primero qué es una. La integración se define a menudo por las sumas de Riemann, así que asumiré que estás que estás familiarizado con la definición o puedes buscarla. En particular, una introducción al cálculo integral probablemente mostrar ejemplos de sumas de Riemann utilizando una cuadrícula uniforme, es decir dividiendo el intervalo $[a,b]$ en algún número de piezas iguales.

Creo en una correcta comprensión de la integración de Riemann, nadie se preocupa realmente de lo que hace la función en cada uno de los puntos número finito de puntos en la "malla" entre $a$ y $b$ . Lo que realmente lo que importa es lo que hace la función en todos los puntos en el medio cada par de puntos de cuadrícula consecutivos. La única razón por la que miramos los puntos de la cuadrícula es porque (bajo ciertas suposiciones razonables) nos dan una pista sobre lo que la función está haciendo entre ellos.

Lo que representa su suma de integrales es la integral de la función en cada uno de los valores de entrada $a, a+n, a+2n, \ldots, b$ . En otras palabras, has cubierto un conjunto de puntos que realmente no nos importan, y has dejado fuera los puntos intermedios, que sí nos importan.

El simple hecho de presentar una secuencia infinita de cuadrículas cada vez más finas no cambia esto. Hasta que no se haga algo que cubra algún intervalo a lo largo de la línea de números reales, no habrás integrado esencialmente nada.

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Para decirlo de otra manera, simplemente hay demasiados números reales $x$ entre dos números cualesquiera $a$ y $b$ (con $a < b$ ) para que "sumar" el valor de la integral de la forma que intentas. Cualquier suma de esa forma (con cada integral empezando y terminando en el mismo valor de $x$ ) se fijará en $f(x)$ a un número finito de valores de $x$ entre $a$ y $b$ (porque en el análisis estándar, si $n$ no es exactamente cero entonces $b < a + Qn$ para algún número entero $Q$ ), que es precisamente $0\%$ de todos los valores de $x$ que se encuentran entre $a$ y $b$ . Se podría extender esto a un número infinito de valores de $x$ tomando una secuencia infinita de estas sumas con valores cada vez más pequeños valores de $n$ pero al hacerlo, usted todavía han cubierto precisamente $0\%$ de todos los valores de $x$ que se encuentran entre $a$ y $b$ .