Minimizar una función de 3 variables.

Question

Si tengo una función de 3 variables positivas, $k$ , $m$ y $n$ ¿Cómo puedo encontrar el valor de $k$ minimiza esta función (en términos de $m$ y $n$ )?

La función particular que me interesa es esta:

$$y = \left(1-e^\frac{-km}{n}\right)^k$$

Por lo tanto, estaría buscando una respuesta en forma de $k = f(n, m)$ que minimiza $y$ . No sé por dónde empezar. He encontrado este ejercicio en un libro de texto de minería de datos/algoritmos, por lo que sospecho que no requiere mucho cálculo, pero no puedo encontrar una manera de abordar esto.

Puedo ver que a medida que aumenta k, $1-e^\frac{-km}{n}$ se acerca a 1, pero también estamos elevando esa cantidad a la potencia $k$ .

Answer 1

$$y = \left(1-\exp(-ak) \right)^k$$

$$\ln y = k \ln (1-\exp(-ak))$$

$$\frac{d\ln y}{dk}=\ln(1-\exp(-ak)) + \frac{k(a\exp(-ak))}{1-\exp(-ak)}=0$$

Dejemos que $ak = x$ .

Queremos resolver para $$\frac{x\exp(-x)}{1-\exp(-x)}=-\ln(1-\exp(-x))$$

$$x\exp(-x)=-\ln(1-\exp(-x))^{1-\exp(-x)}$$

Dejemos que $z=1-\exp(-x)$ , donde $0<z<1$ entonces tenemos $$x=-\ln (1-z)$$

y queremos resolver para

$$-(1-z)\ln (1-z)=-z\ln z$$

$$\ln (1-z)^{1-z}=\ln z^z$$

Aplicando $W$ -de la función de Lambert, obtenemos $1-z=z$ y por lo tanto $z=0.5$ .

$$x=\ln 2$$

$$k = \frac{\ln 2}a=\frac{n\ln 2}{m}$$