Monty Hall: ¿Qué hay de malo en mi enfoque?

Question

Digamos que tenemos n cajas y un coche.

La probabilidad de que uno de ellos tenga un coche = p

y cada caja tiene la misma probabilidad de tener un coche, por lo tanto el cambio de que una sola caja tenga coche = p/n

Ahora consideremos la posibilidad de que la caja 1 tenga coche, dado que las otras cajas no tienen coche

P(Caja 1 contiene coche | otras n-1 cajas no contienen coche)

$$=\frac{P(Box\space1\space contains\space car \cap other\space n-1\space boxes\space don't\space contain\space car)}{P(other\space n-1\space boxes\space don't\space contain\space car)}$$

$$=\frac{P(Box\space1\space contains\space car)}{P(other\space n-1\space boxes\space don't\space contain\space car)}$$

$$=\frac{\frac{p}{n}}{ \left( 1 - \frac{p}{n} \right)^{(n-1)} }$$ [1]

Pero si aplicamos este resultado al clásico problema de monty hall donde tenemos 3 cajas. Digamos que el concursante eligió la caja 1.

Las otras dos cajas tienen p = 2/3 para tener coche, n = 2,

cada caja tendrá una probabilidad de p/n = $\frac{2/3}{2} = 1/3$ de tener un coche

Si Monty abre, por ejemplo, la caja 3 (que no tiene coche),

la probabilidad de que la caja 2 tenga coche

$$=\frac{\frac{p}{n}}{ \left( 1 - \frac{p}{n} \right)^{(n-1)} }$$

aquí p = 2/3

n = 2 $$=\frac{\frac{2/3}{2}}{ \left( 1 - \frac{2/3}{2} \right)^{(2-1)} }$$ $$= 1/2$$

que no es la respuesta correcta. He hecho algo mal y [1] no es un resultado válido.

¿Qué tiene de malo?

PD: Sé cómo resolver el problema de Monty Hall utilizando otro enfoque. Quiero saber qué hay de malo en este enfoque?

Answer 1

En primer lugar, su definición de $p$ es bastante vago.
Intenta algo en la línea de: Asumiendo que hay $n$ cajas, cada caja tiene una probabilidad de contener el coche igual a $p = \frac{1}{n}$ .
Ahora, la probabilidad que usted propone $$P(\text{Box 1 contains car} | \text{other n-1 boxes don't contain car}) = 1$$ ya que la afirmación "La caja 1 contiene coche" es equivalente a "las otras n-1 cajas no contienen coche" porque sólo hay 1 coche.
La probabilidad que se busca es $$P(\text{Box 1 contains car} | \text{1 other box don't contain car}).$$ Aparte de eso, creo que vas por buen camino.

Answer 2

En primer lugar, tu no eres en realidad calculando el Problema de Monty Hall. Estás calculando la probabilidad: $$P(\text{box 2}\mid\text{not box 3})=\frac12$$ Mientras que el Problema de Monty Hall se refiere a la probabilidad: $$P(\text{box 2 OR box 3}\mid\text{(not box 3) OR (not box 2)})=\frac23$$

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Para comentar su derivación, por $n$ no se refiere al número total de cajas, ya que de lo contrario se especificaría que $n-1$ cajas no contienen un coche sería redundante. Esto no estaba claro cuando lo leí al principio.

En cambio, supongamos que tenemos $N>n$ cajas en total. Entonces usted está preguntando:

¿Cuál es la probabilidad de que el coche se encuentre en la primera de las $n<N$ cajas dado que NO se encuentra en las otras $(n-1)$ cajas.

Para ser claros, esto implica la posibilidad de que el coche pueda estar de hecho en uno de los restantes $N-n$ cajas.

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Entonces la mayor parte de tu derivación es correcta, excepto el denominador. Considera el $(n-1)$ cajas como $(n-1)$ juicios independientes, que no lo es. Aquí sólo estamos considerando un único ensayo. Más bien el denominador debería ser: $$P(\text{not the other $ n-1 $ boxes})=1-(n-1)\cdot\tfrac pn$$