¿Qué podemos decir sobre $ b\overline {z}+\overline {b}z$

Question

¿Qué podemos decir sobre $\overline {b}\left( z^{2}_{1}+z^{2}_{2}+z^{2}\right) +b\left( \overline {z_{1}}^{2}+\overline {z_{2}}^{2}+\overline {z_{3}}^{2}\right) $ Si $b, z_{i}\in \mathbb{C} ,\left| z_{i}\right| =1$ y $A\left( z_{1}\right) ,B\left( z_{2}\right) ,C\left( z_{3}\right) $ ¿son los afixes de un triángulo equilátero?

Answer 1

Dejemos que $w_1=z_1z_3^{-1}$ y $w_2=z_2z_3^{-1}$ . Entonces, como simplemente estamos rotando el triángulo por el ángulo determinado por $z_3$ tenemos $w_1=\omega$ y $w_2=\omega^2=\bar{\omega}$ las raíces cúbicas no reales de $1$ . Así, $\omega^2+\omega+1=0$ y $\omega^4=\omega$ .

Su expresión se convierte entonces en $$ \bar{b}z_3^2(\omega^2+\omega^4+1)+b\bar{z}_3^2(\bar{\omega}^2+\bar{\omega}^4+1) $$

Answer 2

Desde $$\overline{w}=w\Leftrightarrow w\in\mathbb R,$$ podemos decir que es un número real.