En la "introducción a la mecánica estadística" de David Chandler afirma que para un gas ideal a alta temperatura
$$ \langle n_j\rangle=\langle N\rangle\frac{e^{-\beta \epsilon_j}}{\sum e^{-\beta \epsilon_j}} $$
Lo cual puedo creer por intuición, pero me pierde en la derivación.
Empezando por la forma general para la ocupación de un gas bosón o fermión:
$$ \langle n_j \rangle=[e^{\beta (\epsilon_j-\mu)} \pm 1]^{-1} $$
Entonces, a alta temperatura, $\beta \rightarrow 0$ , [página 101 (b)]
$$ e^{\beta(\epsilon_j-\mu)}>>1 $$
Por lo tanto, se puede suponer que
$$ \langle n_j \rangle=e^{-\beta (\epsilon_j-\mu)} $$
Lo que tendría sentido si $e^{\beta(\epsilon_j-\mu)}>>1$ pero seguro que parece que $ e^{\beta(\epsilon_j-\mu)}\approx 1$ en ese caso. ¿Hay otra suposición que se hace aquí?
Lo dice:
Obsérvese que si esta ecuación es cierta para todos los $\epsilon_j$ entonces $-\beta \mu >>1 $
Así que.., $\mu \rightarrow -\infty$ a alta temperatura? Eso no me parece algo obvio.
El resto de la derivación:
$$ \langle N \rangle = \sum \langle n_j \rangle =\sum e^{-\beta(\epsilon_j-\mu)}=e^{\beta \mu} \sum e^{-\beta \epsilon_j} \\ e^{\beta \mu} = \frac{\langle N \rangle}{\sum e^{-\beta \epsilon_j}} $$
utilizando $\langle n_j \rangle = e^{-\beta(\epsilon_j - \mu)}$
$$ \langle n_j\rangle=\langle N\rangle\frac{e^{-\beta \epsilon_j}}{\sum e^{-\beta \epsilon_j}} $$
