Rango de a para $\int_{0}^{1} e^{x^2}(2x-a)dx$ = 0

Question

Si $\int_{0}^{1} e^{x^2}(2x-a)dx$ = 0 , donde a es cualquier número real, entonces

(A) a > 2
(B) a es negativo
(C) a = 1/e^2
(D) a está entre 1/3 y 2

¿Cómo puedo integrar $e^{x^2}$ ?

Answer 1

¡No es necesario integrar ! si $f(x)=e^{x^2}(2x-a)$ La pregunta es "¿existe un $a$ tal que $f$ cambio de signo cuando $x\in[0,1]$ y la respuesta es para $0\leq a\leq 2$ (porque el signo de $f$ dependen del signo de $2x-a$ y $2x-a<0$ si $x<\frac{a}{2}$ y $f(x)\geq 0$ si $x\geq \frac{a}{2}$ )

(A) si $a>2$ entonces $f$ es siempre negativo. Entonces la integral no puede ser nula.

(B) Si $a<0$ El $f$ es siempre positiva, por lo que la integral no puede ser nula.

(C) Si $a=\frac{1}{e^2}$ entonces $f(x)\geq 2x-\frac{1}{e^2}$ si $x\in[0,1]$ y por lo tanto $$\int_0^1f(x)dx\geq \int_0^1 (2x-e^{-2})dx>0$$ (La última integral es fácil de calcular).

Por lo tanto, si hay una solución, debe ser $(D)$ .

Pero para demostrar que es realmente (D) puede establecer $g(a)=\int_0^1 e^{x^2}(2x-a)dx$ que es continua. Usted tiene que $g(2)\leq 0$ (porque demostramos que si $a>2$ tenemos que $f$ es negativo) y $g(1/3)\geq 0$ porque $f(x)\geq (x-1/3)$ para $a=1/3$ . Por lo tanto, por el teorema del valor medio, existe un $c\in]1/3,2[$ tal que $g(c)=0$ lo que concluye la prueba.