encontrar la cantidad de todos los números de 3 dígitos

Question

El problema se plantea:

encontrar una cantidad de números de 3 dígitos con cifras que no sean la potencia del cubo (según tengo entendido $8$ no puede tomarse tal cual $2^3$ También soy no estoy seguro sobre $1^3 = 1$ ) y además estos números tienen que tener dígitos que vayan en orden descendente. Si tomo la fórmula combinatoria va a ser "número de combinaciones sin repetición" (porque también tengo que escribir el calulo final usando la fórmula).

también está claro que hay 3 secuencias de dígitos

• Primera posición - 6 dígitos ( I excluida) $0$ , $1$ y $8$ )
• Segunda posición - 7 dígitos (I excluida) $1$ y $8$ )
• Tercera posición - 7 dígitos (I excluida) $1$ y $8$ )

todavía no estoy seguro de cómo organizar la parte "en orden descendente".

Answer 1

Sin repetirse, la respuesta es $\binom 73=35$ .

Esto se debe a que el orden se determina automáticamente cuando se eligen tres números de $2,3,4,5,6,7$ o $9$ .

Answer 2

En primer lugar, dejemos que $abc$ ser un $3-$ número de dígitos donde $a \ne 0,1,8$ , $b \ne 0,1,8$ y $c \ne 0,1,8$ .

Ahora, fíjate que como $a \ne 0,1,8$ y $b \ne 0,1,8$ Hay $7 \cdot 7 = 49$ de $2$ -números de un dígito $ab$ . Ahora, asumiendo que la igualdad no está incluida en el orden descendente, podemos eliminar los casos en los que $a=b$ y hay $7$ de ellos (a saber $22$ , $33$ , $44$ , $55$ , $66$ , $77$ , $99$ ). Y entre $49-7=42$ números, en la mitad de ellos $a < b$ y en la mitad de ellos $b < a$ (podemos utilizar la simetría porque $0$ ya está eliminado, así que todos esos $42$ los números son válidos $2$ -números de dígitos). Por lo tanto, hay $21$ números aquí sólo con la condición $a > b$ .

Utilizando el mismo argumento, podemos decir que hay $21$ números sólo con condición $b > c$ . Sin embargo, en este caso, también contamos los casos en los que $b = 9$ y hay $6$ de ellos por lo que tenemos que excluirlos. Obsérvese también que tenemos que excluir el caso en que $a = 9$ y $b = 2$ porque $c \ne 0,1$ . Así que hay $7$ casos a excluir y la respuesta se convierte en $21+21-7 = 35$ .

Sin embargo, no sé si un argumento como éste funciona en por ejemplo $4$ -números de dígitos. Y esto tampoco es una manera "formal".

Answer 3

Otra forma más explícita que dar directamente combinaciones.

Tomo el orden descendente estricto y los dígitos $9,7,6,5,4,3,2$ ( $0,1,8$ se supone que son cubos). tenemos $abc$ con $ a\gt b\gt c$

$$\begin{array}aa=9\Rightarrow 5+4+3+2+1\text{ possible numbers }\\a=7\Rightarrow 4+3+2+1\text{ possible numbers }\\a=6\Rightarrow 3+2+1\text{ possible numbers }\\a=5\Rightarrow 2+1\text{ possible numbers }\\a=4\Rightarrow 1\text{ possible number: 432 }\\a=3\Rightarrow\text{no possible numbers }\end{array}$$

Por lo tanto, hay $15+10+6+3+1=35$ números