Actualización: He mejorado drásticamente mi prueba original, y la he dejado por debajo de una regla horizontal. _
Demostraré el siguiente resultado más fuerte de A.K. Gupta, Generalized hidden hexagon squares, Fibonacci Quarterly, 1974 : $$ \binom{n}{m-r} \binom{n-s}{m} \binom{n+r}{m+s} = \binom{n-s}{m-r} \binom{n}{m+s} \binom{n+r}{m} $$
Prueba:
Consideremos el siguiente problema: dividir un conjunto de tamaño $3(a+b) + p + q$ en conjuntos de tamaño $a+p$ , $a+q$ , $b-p$ , $b-q$ , $b$ y $a+p+q$ .
Se pueden agrupar como $(a+p)+(b-p)$ , $(a+q)+(b)$ y $(a+p+q)+(b-q)$ por lo que el problema se divide en dos partes: primero dividir el conjunto grande en tamaños $a+b$ , $a+b+q$ y $a+b+p$ y luego hacer $\binom{a+b}{b-p} \binom{a+b+q}{b} \binom{a+b+p}{b-q}$ opciones.
Alternativamente, puede cambiar los papeles de $p$ y $q$ en el párrafo anterior; de cualquier manera, primero se divide el mismo conjunto grande en los mismos tres trozos, pero luego la forma de repartir los trozos es diferente. Obsérvese que si los seis conjuntos pequeños tienen un tamaño no negativo, también lo tienen los tres conjuntos grandes. Así que hemos demostrado: $$ \binom{a+b}{b-p} \binom{a+b+q}{b} \binom{a+b+p}{b-q} = (p\leftrightarrow q) $$ sin condiciones sobre los signos de cualquier número (sólo que $a,b,p,q$ son todos enteros).
Configuración $n=a+b$ , $m=b$ , $r=p$ , $s=-q$ (por ejemplo) da el resultado deseado.
Mi prueba anterior; algunos comentarios se aplican a ella:
Déjame escribir $\binom{a}{b,c}$ para el número de formas de elegir dos conjuntos disjuntos, de tamaños $b,c$ respectivamente, de un conjunto de tamaño $a$ . Hay varias maneras de hacerlo: primero puede elegir $b$ de ellos, y luego elegir $c$ de los restantes, o puede elegir $b+c$ y luego decidir cómo repartirlos, o... Así, tenemos las siguientes igualdades: $$ \binom{n}{m-r,s} = \binom{n}{m-r}\binom{n-(m-r)}{s} = \binom{n-s}{m-r} \binom{n}{s} $$ $$ \binom{n}{m,s} = \binom{n-s}{m} \binom{n}{s} = \binom{n}{m+s} \binom{m+s}{s} $$ $$ \binom{n+r}{m,s} = \binom{n+r}{m+s} \binom{m+s}{s} = \binom{n+r}{m} \binom{(n+r)-m}{s} $$ Multiplicando estas ecuaciones y cancelando los términos iguales se obtiene la igualdad deseada.
Esto no proporciona una interpretación combinatoria cuando ambos lados son $0$ --- de hecho, sólo se aplica cuando todos los $s$ , $m$ , $n-s$ y $n+r-m-s$ son enteros no negativos, como en otras situaciones en las que había pedido dividir por $0$ .
No trataré de mejorar esto, ya que pediste una prueba combinatoria, y no trataré de dar una interpretación combinatoria al "número de maneras de escoger negativamente muchos objetos de un conjunto con tamaño negativo".
En palabras, empiezo con conjuntos de tamaño $n$ , $n$ y $n+r$ y eliminar un conjunto de tamaño $s$ de cada uno, y luego eliminar de lo que queda conjuntos de tamaño $m-r$ , $m$ y $m$ ; cuento las formas de hacerlo de varias maneras, y noto una coincidencia, que $n-(m-r) = (n+r) - m$ .
