Pruébalo:
a) Si A es un anillo local, entonces A tiene la característica cero o una potencia prima.
Prueba.
Supongamos que M es el único ideal maximal de A, entonces $A/M$ es Campo en el dominio integral particular entonces $Char( A/M ) = 0$ o $p$ con algunos $p$ de primera.
Si $Char( A/M ) = 0$ entonces $\forall n \in \mathbb N, $ , $\forall a+M \in A/M $ tenemos que $ n(a + M )= na + M \ne M$ entonces $ na \notin M$ $\forall n \in \mathbb N $ Así que $ n 1 \notin M $ Esto implica $n 1 \ne m $ $ \forall m \in M $ $ \forall n \in \mathbb N $ entonces $ n 1 \ne 0 $ $ \forall n \in \mathbb N $ finalmente $Char ( A )= 0$
Supongamos que $Char( A/M ) = p $ y $Char( A ) = n$ entonces $ n 1 \ne m$ $ \forall m \in M $ Así que $ M + n 1 = M $ y como $Char( A/M ) = p $ esto implica que $ p | n$ entonces $n = pq$ , por lo que tenemos $ n= p^l m$ donde $ (p,m)=1$ pero con esto hay $ x,y\in \mathbb Z$ tal que $ 1= px 1 + my 1$ Así que $ px 1 $ es la unidad o $my 1$ es la unidad.
Desde $p 1 \in M $ entonces $px 1 \in M $ esto implica $px 1 \notin A^* $ entonces $ my 1 \in A^* $ Así pues, para $ a \in A$ tal que $my 1 a = 1$ entonces $m 1$ es la unidad con esto tenemos que $o(m1) = o(1)$ y como $p^l(m1)=0$ esto implica que $$p^lm | p^l$$ entonces $$ m=1 $$ .
Finalmente obtenemos que $Char( A ) = p^l $ para algún número entero l y p primo.
¿Es esto correcto?
b) Sea A un anillo conmutativo con identidad y con característica n. Si $n= ab$ con $ (a,b)=1$ entonces A es isomorfo al producto directo de dos anillos, uno de ellos de característica a y el otro de característica b.
No puedo probar esto puede alguien ayudarme por favor.
