Demostrar que $py^{p-1}(x-y)<x^p - y^p<px^{p-1}(x-y), (0<y<x,p>1)$

Question

No sé cómo probar la siguiente pregunta: $$py^{p-1}(x-y)<x^p - y^p<px^{p-1}(x-y),(0<y<x,p>1)$$

Muchas gracias.

Answer 1

Como dice JPi:

Dejemos que $f(x) = x^p$ con $p > 1$ . Por el teorema del valor medio tenemos $\frac{f(x)-f(y)}{x-y} = f'(c) $ donde $y < c < x$ .

También tenemos $f'(x) =px^{p-1}> 0$ y $f''(x) =p(p-1)x^{p-2}> 0$ .

Desde $f''(x) > 0$ , $f'(y) < f'(c)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y} < f'(x)$ , que es lo que quieres.

Tenga en cuenta que si $0 < p < 1$ , entonces $f''(x) < 0$ , por lo que las desigualdades se invierten: $f'(y) > f'(c)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y} > f'(x)$ .

Answer 2

Dejar $\alpha \in (0,1)$ así que $$ p \alpha^{p-1} \lt \alpha^{p-1} + \alpha^{p-2}+\dots+ \alpha +1 \lt p $$ multiplicando por $1-\alpha$ da: $$ p\alpha^{p-1}(1-\alpha) \lt 1-\alpha^p \lt p(1-\alpha) $$ ahora se ha fijado $\alpha = \frac{y}x$ y multiplicar por $x^p$