Si $n=\prod\limits_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}$ es un número perfecto, con $p_i$ primos distintos, $\alpha_i\geq1$ , entonces para cada $i$ hay un $j \in \{1,\ldots,k\}$ tal que $p_i \mid (p_j^{\alpha_j+1}-1)$ . $j$ no es claramente igual a $i$ .
Prueba Tenga en cuenta que $\sigma(n)\phi(n)=n\prod\limits_{i=1}^k \frac{p_i^{\alpha_i+1}-1}{p_i}$ .
Ahora $n$ es perfecto así que $\sigma(n)=2n$ es decir
$2\phi(n)=\prod\limits_{i=1}^k \frac{p_i^{\alpha_i+1}-1}{p_i}$ .
La Lhs es un número entero por lo que debe ser la rhs. $\square$
Es bastante trivial incluso para los números perfectos.
Por ejemplo $n=2^{p-1}(2^p-1)$ , $p$ primo y $2^p-1$ un primo mersenne. Entonces $2^p-1\mid 2^{p-1+1}-1$ y $2 \mid (2^{2p}-2^{p+1}+1-1)$ .
Me di cuenta de esto mientras estudiaba ayer, sólo por curiosidad, ¿dónde podría haber estado ya en uso? O incluso si es cualquier uso en absoluto ...
Nota: Esta condición es necesaria pero no suficiente, ya que $n=40$ lo satisface y no es perfecto, es decir $40=2^3\cdot5$ y $5\mid2^4-1$ y $2\mid 5^2-1$ . Además de ser uniforme y $5$ no es un primo mersenne, $2\cdot\phi(40)=32\neq36=\frac{2^4-1}{2}\cdot\frac{5^2-1}{5}$ .
Quiero decir que en principio podrías deducir algunas cosas posiblemente no muy útiles como, dada la forma de eulers para los números perfectos de impar $n=q^\alpha \prod\limits_{i=1}^k p_i^{2\epsilon_i}$ , $q\equiv\alpha\equiv1 \pmod{4}$ que $q \mid p_i^{2\epsilon_1+1}-1$ para algunos $i$ y por lo tanto $ord_q(p) \mid 2\epsilon_i+1$ . $ord_q(p)$ representa el orden multiplicativo de $p$ modulo $q$ . Y también si $p_i^{2\epsilon_1+1}-1=kq$ entonces $k \equiv 0,2 \pmod{4}$ para $p_i\equiv 1,3 \pmod{4}$ .
Eso es todo lo que se me ocurrió de la cabeza...
Actualización: También si $q=5$ y $3 \nmid n$ entonces $\alpha\geq 5$
