Singularidad en la métrica de Robertson Walker con cortes espaciales planos

Question

En el libro de GR de Sean Carroll, pág. 76, un caso especial de la métrica de Robertson-Walker, donde los cortes espaciales son planos viene dado por $$ds^2=-dt^2+a^2(t)[dx^2+dy^2+dz^2].$$

Se dijo que $t=0 $ representa una verdadera singularidad de la geometría (el "Big Bang") y debe ser excluida de la variedad. El rango de la $t$ Por lo tanto, la coordenada es $0<t<\infty$ .

¿Por qué es $t=0$ ¿una singularidad? ¿Qué es infinito o indefinido cuando $t=0$ ?

Answer 1

Si está buscando algunas cantidades físicas que exploten como $t \rightarrow 0$ en la cosmología FRW, se puede observar que el factor de Hubble $H = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}$ diverge en este punto. Del mismo modo, para confirmar el hecho de que se trata de una singularidad propia, si se calculan las invariantes de curvatura, por ejemplo $R$ , $R^{\mu \nu}R_{\mu \nu}$ se encuentra que todos son inversamente proporcionales a alguna potencia de $t$ y también divergen como $t \rightarrow 0$ . Por lo tanto, tenemos una singularidad de curvatura.

Answer 2

Carroll menciona que en la solución considerada, el factor de escala $a\rightarrow 0$ como $t\rightarrow 0$ . Como la métrica debe ser siempre no degenerada, esto representa un punto singular. Operacionalmente, si la métrica es degenerada, la métrica dual $g^{\mu\nu}$ se vuelve indefinido.

Answer 3

Recordemos que la solución de las ecuaciones de Friedman para el factor de escala $$a(t) = a_0 t^{\lambda}$$ donde $\lambda$ es una constante. Obviamente, es cero en $t=0$ . En este punto la parte espacial de la métrica $$ds^2=-dt^2+a^2(t)[dx^2+dy^2+dz^2]$$ desaparece.