Integración de la T del alumno PDF

Question

La distribución normal estándar tiene la propiedad de que

$$\int_{-\infty}^\infty \phi(x)\phi(x+a)dx = \frac{1}{\sqrt2}\phi\left(\frac{a}{\sqrt2}\right)$$

¿Cómo puedo demostrar que la misma propiedad es válida para la distribución de la T de Student? He estado jugando con la integración por partes y la sustitución de la u sin éxito. La clave es resolver lo siguiente. $$\int_{-\infty}^\infty \left(1+\frac{(u+a)^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}\left(1+\frac{u^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}du$$

Editar: algunos valores de los valores críticos de q en k=2:

|df    |q (.95)  |q(.99)   |
|5     |3.635350 |5.702312 |
|6     |3.460456 |5.243097 |
|7     |3.344085 |4.949044 |
|8     |3.261182 |4.745232 |

Edición 2: Después de pensar en cómo surge la distribución de rango estudiado, creo que los grados de libertad serán diferentes en la izquierda y la derecha de la igualdad. Esto no es un problema cuando se utiliza la normal estándar.

Creo que lo que hay que probar es: $$\int_{-\infty}^\infty t(x,\nu)t(x+a,\nu)dx = \frac{1}{\sqrt2}T\left(\frac{a}{\sqrt2},2\nu\right)$$

Answer 1

Se mantiene para la normal por la razón (bastante obvia) de que la suma de dos cuadráticas es cuadrática; completando el cuadrado y reconociendo una densidad integra a 1 se obtendrá entonces el resultado.

No hay nada obvio que parezca sugerir que deba mantenerse para la t. ... ¿por qué crees que lo hace?

De hecho, si se cumpliera, sugeriría que la suma de dos $t_\nu$ las variantes aleatorias tendrían una distribución t (ya que es casi de la misma forma que la integral de convolución) -- pero ese no es el caso, así que mi expectativa es que generalmente no lo hace aguantar.