La distribución normal estándar tiene la propiedad de que
$$\int_{-\infty}^\infty \phi(x)\phi(x+a)dx = \frac{1}{\sqrt2}\phi\left(\frac{a}{\sqrt2}\right)$$
¿Cómo puedo demostrar que la misma propiedad es válida para la distribución de la T de Student? He estado jugando con la integración por partes y la sustitución de la u sin éxito. La clave es resolver lo siguiente. $$\int_{-\infty}^\infty \left(1+\frac{(u+a)^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}\left(1+\frac{u^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}du$$
Editar: algunos valores de los valores críticos de q en k=2:
|df |q (.95) |q(.99) |
|5 |3.635350 |5.702312 |
|6 |3.460456 |5.243097 |
|7 |3.344085 |4.949044 |
|8 |3.261182 |4.745232 |Edición 2: Después de pensar en cómo surge la distribución de rango estudiado, creo que los grados de libertad serán diferentes en la izquierda y la derecha de la igualdad. Esto no es un problema cuando se utiliza la normal estándar.
Creo que lo que hay que probar es: $$\int_{-\infty}^\infty t(x,\nu)t(x+a,\nu)dx = \frac{1}{\sqrt2}T\left(\frac{a}{\sqrt2},2\nu\right)$$
