No encontrarás un chip que resuelva todo el problema, pero probablemente puedas encontrar una placa que lo haga, y a menos que estés considerando la producción en volumen o quieras la experiencia de diseño a nivel de placa, esa es probablemente la forma de proceder.
Gran parte de la complejidad de tu software estará en la pila TCP/IP, y especialmente en los obstáculos por los que tendrás que pasar para obtener datos de la fuente de Internet. Esperemos que haya una API simple para eso; no querrás meterte a raspar páginas web, tanto porque el diseño de los datos tiende a cambiar con las "mejoras" del sitio como porque procesar una página web moderna dentro de los recursos de un sistema embebido pequeño no será divertido. Sería una muy buena idea intentar escribir un programa independiente en C de línea de comandos en tu computadora de escritorio que obtenga los datos utilizando la API de sockets básica e imprima a la salida estándar, para entender los requisitos antes de seleccionar cualquier hardware.
Las placas de Arduino basadas en ATMGEA son una plataforma de proyecto popular, pero sufren de dos limitaciones. Primero, son extremadamente limitadas en RAM, teniendo solo 2K en el modelo básico, lo que hace que la memoria para almacenar en red y el procesamiento de datos sea bastante desafiante. Segundo, el procesador no tiene una capacidad de red incorporada, por lo que se convierte en un costo adicional. Puedes obtener un "shield" de ethernet adicional o conseguir una placa que tenga ethernet en lugar de la interfaz de programación USB, sin embargo, en ese caso necesitas un cable USB-TTL de $20 para cargar tu programa en ella. Una opción que definitivamente merece consideración es la variedad de placas basadas en ARM en el mercado ahora como competidores de Arduino. Estos tienden a ofrecerte bastante más computadora por tu dinero, y grados variables de compatibilidad de código fuente (si habitualmente apuntas a .NET en el escritorio, también hay algunas que usan una versión embebida de eso).
Yendo un paso más allá, hay placas que ejecutan sistemas operativos embebidos, ya sea Linux o varios ejemplos propietarios, que te dan un entorno de desarrollo de software tradicional y soporte de bibliotecas. Hoy en día, estas comienzan en $80, pero se supone que la rasberry pi "cualquier día de estos" reducirá la mitad. Estas aún carecen de pantallas integradas, aunque muchas pueden manejar varios tipos de monitores además de la posibilidad de usar pequeñas LCD.
Finalmente, vale la pena mencionar que hay un producto diseñado para ser hackeado llamado Chumby que hace básicamente lo que quieres e incluye un LCD, disponible en varias versiones tanto de la empresa originaria como de algunos socios. El original utiliza un dongle wifi USB que podrías reemplazar con uno de ethernet con cable, no estoy seguro si las versiones posteriores mantienen eso modular o tienen chips wifi soldados.