Cálculo de la suma infinita, $\sum_{n=0}^\infty \frac {5^n}{25^n + 1} $

Question

Así que estoy tratando de calcular $$ \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac {5^n}{25^n + 1}. $$ El forma cerrada no es muy agradable y no veo ningún telescopio inmediato. ¿Alguna idea?

Answer 1

Desde entonces: $$\frac{5^n}{25^n+1}=\frac{1}{5^n}-\frac{1}{125^n}+\frac{1}{3125^n}-\ldots $$ que tenemos: $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{5^n}{25^n+1}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{124}+\frac{1}{3124}+\ldots\right)=\frac{1}{2}+\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{5^{2k+1}-1}.$$

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A pesar de ser fácil de calcular mediante la técnica de aceleración de Euler, dicha serie no tiene una expresión cerrada agradable. Por lo demás, también la constante recíproca de Lucas tendría uno.

Answer 2

insinuación:

$$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac {5^n}{25^n + 1} = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac {1}{5^n + 5^{-n}}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac {1}{e^{\ln(5)n} + e^{-\ln(5)n}}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac {1}{2\cosh(\ln(5)n)} $$

si pudiera encontrar una fórmula para $$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac {1}{\cosh(xn)} $$ has solucionado el problema. y tal vez se puede calcular mediante la teoría de los residuos en función compleja.

Answer 3

Su serie es un Serie Lambert y en el caso de los coeficientes constantes $a_n$ se puede reescribir como función theta clásica de Jacobi (para $z=0$ ) : $$\theta_3(z,q):=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}e^{2\pi iz}$$ utilizando la relación $(8)$ del enlace inicial de MathWorld con $\;q=\dfrac 15$ : $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac {q^n}{1+q^{2n}}=\frac{\theta_3(0,q)^2-1}4$$ Se trata, de hecho, de una identidad de Jacobi (una prueba se da en el cap. $9$ del excelente libro de Borwein&Borwein "Pi and the AGM").

También puede escribirse como una función elíptica, como se indica en la relación $(2.7)$ de este documento de Stephen Milne "Familias infinitas de fórmulas de sumas exactas de cuadrados, funciones elípticas de Jacobi, fracciones continuas y funciones de Schur" .

Las cosas pueden volverse más complicadas en lugar de más simples, pero no menos interesantes.