El número de raíces de los polinomios

Question

¿Puede un $5$ -¿el polinomio de grado 1 tiene una sola solución? por ejemplo: $$x^5 - 3x^4 + 17x^3 - 12x^2 - 11x - 5 = 0$$

Quiero decir que no es necesario que cada polinomio de séptimo grado tenga siete soluciones. Puede haber sólo una o tres. Lo mismo para un polinomio de sexto grado, puede haber sólo dos soluciones.

Si esto es cierto, ¿cómo puedo decidir si un polinomio de quinto grado tiene sólo una solución o tres y no cinco soluciones?

Answer 1

Un polinomio de 5º grado (con coeficientes reales) tiene al menos 1 raíz real. Un polinomio de grado impar tiene al menos 1 raíz real.

El teorema fundamental del álgebra dice que las raíces de un polinomio son iguales a su grado. Sin embargo, pueden ser complejas y pueden ser raíces de multiplicidad.

$x^2-1$ tiene 2 raíces reales. $x^2+1$ tiene 2 raíces complejas. $x^2-2x + 1$ tiene una raíz de multiplicidad 2.

¿Esto ayuda?

Answer 2

Aquí se trata de un sencillo algoritmo para generar un lote de polinomios de grado $5$ y una única raíz real:

1. Tome un polinomio de segundo grado $p(x)$
2. Consideremos el polinomio de cuarto grado $q(x)=p(x)^2$
3. Toma un poco de $C\in\mathbb{R},D\in\mathbb{R}^+$ y definir $Q(x)$ como $C+D\int_{0}^{x}q(t)\,dt.$

$Q(x)$ es un polinomio de quinto grado con una sola raíz real, ya que es una función continua, débilmente creciente e ilimitada (en ambas direcciones) sobre $\mathbb{R}$ . Por ejemplo, con las opciones $p(x)=x^2+3$ , $C=0,D=5$ obtenemos $$ Q(x) = x^5+10x^3+45x $$ cuya única raíz real se encuentra en $x=0$ .

El algoritmo principal para contar el número de ceros reales de un polinomio viene dado por Teorema de Sturm pero, sin embargo, el cálculo de la discriminante te da algo de información.

Answer 3

Teorema fundamental del álgebra

Todo grado no nulo y de una sola variable $n$ polinomio con coeficientes complejos tiene, contando con la multiplicidad, exactamente $n$ raíces complejas.

Answer 4

Sí. El polinomio

(x - r)^5 

tiene una raíz r con multiplicidad 5.

En general se puede construir un polinomio ( función ) con las propiedades deseadas