El subgrupo de unitarios en $C^*$ -el álgebra no es abierta

Question

Podría demostrar que el subgrupo de invertibles es abierto en un $C^*$ -álgebra, conozco el hecho de que el subgrupo de unitarios en un $C^*$ -El álgebra no está abierta. Estoy tratando de encontrar un ejemplo. Buscando algunas pistas.

Answer 1

Sugerencia: si $U$ es un unitario, $\alpha U$ es invertible para cualquier $\alpha\ne0$ pero no es unitario si $|\alpha|\ne1$ .

Answer 2

El grupo de elementos unitarios en un unital $C^*$ -Álgebra $A$ está cerrado.

A saber, que $(u_n)_{n=1}^\infty$ sea una secuencia de unitarios que convergen a $u \in A$ . Tenemos $u_n^*u_n = u_nu_n^* = 1$ por lo que dejar $n\to\infty$ da $u^*u = uu^* = 1$ . Por lo tanto, $u$ también es unitario por lo que el grupo de elementos unitarios es cerrado.

Desde $A$ es conexo, el grupo de elementos unitarios no puede ser también abierto.