Me cuesta entender por qué este pasaje es cierto: $$ \left( \sqrt[4]{\prod_{i=1}^n x_i} \, \right)^{-1} \le \frac 1 n \sum_{i=1}^n \frac 1 {x_i} \Longrightarrow \sqrt[n]{\prod_{i=1}^ n x_i} \ge \frac n {\sum_{i=1}^n \frac 1 {x_i}} $$ ¿Alguien puede ayudar?
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vadim123
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No te confundas con las expresiones desordenadas. Lo que se empieza es $$a^{-1}\le \frac{1}{c}b$$ Aquí $a$ es la expresión con el $n$ -a raíz y el producto, $b=n$ y $c$ es la suma con el $\frac{1}{x_i}$ .
A continuación, multiplicamos ambos lados de la desigualdad por $\frac{ac}{b}$ que es positivo (ya que los tres números son positivos) para obtener $$\frac{c}{b}\le a$$
La flecha $\Longrightarrow$ significa "Si entonces ". Así que esto dice $$ \text{If } A \le B \text{ then } \frac 1 A \ge \frac 1 B. \tag 1 $$ Esto es cierto si $A$ y $B$ son ambos positivos.
La primera desigualdad dice que la media geométrica de $\dfrac 1 {x_1}, \ldots, \dfrac 1 {x_n}$ es menor o igual que la media aritmética de esos mismos números. Esto es cierto si todos los números son positivos.
Entonces, la línea $(1)$ se aplica lo anterior.
El resultado es la desigualdad que dice la media geométrica, no de $\dfrac 1 {x_1}, \ldots, \dfrac 1 {x_n},$ sino de $x_1,\ldots,x_n,$ es al menos tan grande como la media armónica de esos mismos números.
