Relación entre el grupo $C^\ast$ -algebras $C^\ast(G)$ y gráfico $C^\ast$ -algebras $C^\ast(E)$

Question

Dejemos que $E=E(G,S)$ sea el gráfico definido por un grupo $G$ y un subconjunto $S$ de $G$ . ¿Cuál es la relación entre el grupo $C^\ast$ -algebras $C^\ast(G)$ y gráfico $C^\ast$ -algebras $C^\ast(E)$ ?

Answer 1

En general, el grupo universal $C^*$ -Álgebra $C^*(G)$ y el álgebra gráfica $C^*(E)$ de su grafo de Cayley con respecto a un conjunto generador puede ser muy diferente. Por ejemplo, consideremos un grupo finito $G$ . Si $S$ es un conjunto generador, $E$ está fuertemente conectada. Si $G$ no es un grupo cíclico, entonces la matriz de adyacencia de $E$ no es una matriz de permutación. En este caso, $C^*(G)$ es isomorfo al álgebra de grupo, pero $C^*(E)$ es puramente infinito.

Creo que la relación que podrías estar buscando es la relación entre $G$ y $C^*(E)$ . Desde $G$ actúa sobre $E$ por la propiedad universal de $C^*(E)$ tenemos que $G$ actúa sobre $C^*(E)$ . Kumjian y Pask ( http://www.uow.edu.au/~dpask/index_files/papers/codgaga.pdf ) demostró que el producto cruzado reducido $C^*(E)\rtimes_\lambda G$ es isomorfo a $C^*(E/G)\otimes \mathcal{K}(\ell^2(G))$ .

Answer 2

Suponiendo que E es el dígrafo de Cayley, no mucho. Tomemos el dígrafo de Cayley de un grupo finito no cíclico con respecto a un conjunto de generadores. El grafo C*-álgebra es un C*-álgebra simple de dimensión infinita y el grupo álgebra es de dimensión finita y no simple.