¿Es el percentil p de una distribución mixta una media ponderada de los percentiles p de sus componentes?

Question

Supongamos que Y es una distribución de mezcla definida como sigue:

Si son variables aleatorias con distribución beta (lo que hace que Y sea una mezcla de tres distribuciones beta); y son los percentiles 95 de las densidades de Y y X1 respectivamente (de forma similar para X2 y X3), ¿es necesariamente cierto que:

¿Y esto es válido para cualquier rv's X1, X2, X3 que estén definidos sobre un rango positivo? Intuitivamente tiene sentido que así sea, pero puede haber algo que no he considerado.

Gracias.

Answer 1

En general, NO.

Consideremos el caso más sencillo de dos variables beta diferentes (independientes), por ejemplo una beta(1,2) y una beta(2,1). En ese caso particular, una mezcla 50-50 es uniforme estándar, que tiene un cuantil 0,95 igual a 0,95.

La media ponderada de los dos cuantiles de los componentes es menor que eso (es aproximadamente 0,8755):

> qbeta(.95,1,2)
[1] 0.7763932
> qbeta(.95,2,1)
[1] 0.9746794

(Este fue el primer ejemplo que probé, pero sabiendo que los cuantiles no son lineales en general, esperaba que casi cualquier ejemplo aleatorio fallara a menos que fuera un caso especial).

[el ejemplo de whuber en los comentarios es especialmente sencillo y convincente -- pero quería mostrar que seguía siendo claramente el caso de las variables aleatorias beta - que se superponen completamente, ya que están todas en el intervalo unitario]