Mínimo de Poissons

Question

Dejemos que $X_i\sim\text{Pois}(\lambda_i)$ para $i=1,2,\ldots,n$ y $Y = \min X_i$ . ¿Podemos demostrar que, por ejemplo $\mathbb{E}[Y] \leq f(\lambda,n)\min\lambda_i$ para algunos $f : (\mathbb{R}^n,\mathbb{N}) \to [0,1]$ y acotar la varianza $\mathbb{V}[Y]$ por algo significativo?

La desigualdad de Jensen nos dice $$\mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[\min_i X_i] \leq \min_i\mathbb{E}[X_i] = \min_i\lambda_i$$ ya, pero me gustaría algo más concreto.

Tenga en cuenta que esta pregunta hace una pregunta similar, pero se refiere a toda la distribución sobre $Y$ mientras que yo sólo necesito límites en 2 momentos. En consecuencia, esperaría una respuesta de forma más cerrada disponible.

Si ayuda, en mi caso $X_i\sim\text{Pois}(\lambda)$ para $i=1,\ldots,n-1$ y $X_n \sim \text{Pois}(\lambda + \gamma)$ para $\lambda,\gamma>0$ por lo que para $\gamma$ y $n$ lo suficientemente grande podemos asumir efectivamente $X_i\sim\text{Pois}(\lambda)$ son i.i.d (con alta probabilidad) a efectos de estimar $Y$ .

Answer 1

Esto sólo responde a la mitad de mi pregunta. Acotar la varianza de $Y$ sigue abierta.

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $\lambda_{\min} = \lambda_1\leq \lambda_2\leq \dots \leq \lambda_n = \lambda_{\max}$ . Tenga en cuenta que $$ \mathbb{P}(Y > 0) = \prod_{i=1}^n (1 - e^{-\lambda_i}). $$ Además, $\mathbb{E}[Y | Y>0] \leq \mathbb{E}[X_1 | X_1>0]$ . Reuniendo todo esto,

\begin{align} \mathbb{E}[Y] &= \mathbb{E}[Y | Y>0]\mathbb{P}(Y > 0)\\ &\leq \mathbb{E}[X_1 | X_1>0]\mathbb{P}(Y>0)\\ &= \lambda_{\min} \frac{\prod_{i=1}^n(1 - e^{-\lambda_{i}})}{1 - e^{-\lambda_{\min}}}\\ &= \lambda_{\min} \prod_{i=2}^n (1 - e^{-\lambda_i})\tag{$*$}\\ &\leq \lambda_{\min} (1 - e^{-\lambda_{\max}})^{n-1} \end{align} como se desee. Tenga en cuenta que esto es agudo para $n=1$ y dependiendo de la situación $(*)$ puede ser más útil que el límite final.