Si $y,z$ son elementos de un campo arquimédico $F$ y si $y<z$ entonces hay un elemento racional $r$ de $F$ tal que $y<r<z$

Question

Si $y,z$ son elementos de un campo arquimédico $F$ y si $y<z$ entonces hay un elemento racional $r$ de $F$ tal que $y<r<z$

La prueba comienza diciendo que no es una pérdida de generalidad que supongamos que $0<y<z$

No entiendo bien por qué este es el caso. Por favor, guíenme.

Creo que habrá pérdida de generalidad porque supongamos : $z>0$ pero aún así es posible que $y<0$ es decir $z \in P ~;~ y \notin P$ donde $P$ es una clase positiva en $F$

Gracias por su ayuda.

Answer 1

No es porque en un campo ordenado si tienes elementos arbitrarios $a,b,c\in F$ entonces

$$a<b\iff a+c<b+c$$

Por lo tanto, si $0<y$ , por ejemplo, entonces sólo hay que añadir $1-y$ a ambos lados para obtener

$$0<1<z+1-y$$

y tienes $y'=1, z'=z+1-y$ para que su nueva pregunta se refiera sólo a los positivos, y sea equivalente .

En particular, digamos que $r$ es racional entre cualquier $y,z\in F$ y decir $-N<y$ es un entero menos de $y$ entonces

$$0<y+N<r+N<z+N$$

para que

$$\begin{cases} y'=y+N\\ r'=r+N \\ z'=z+N \end{cases}$$

y $y<r<z\iff y'<r'<z'$ para que las cosas funcionen igual con los positivos que con cualquier elección. Además, claramente $r'$ es racional.

Answer 2

Me parece que con "sin pérdida de generalidad", el autor quiere decir realmente "ya que el otro caso es mucho más fácil": si $z>0$ , $y<0$ está claro que $0$ es el elemento racional deseado. Si ambos son negativos, multiplique por $-1$ .