¿Cómo puedo averiguar la convergencia uniforme aquí?

Question

Esto es lo contrario de esta pregunta: ¿Convergencia uniforme de una secuencia de funciones?

Dejemos que $f$ sea una función de valor real sobre un conjunto compacto $S \subset \mathbb R^n$ y $\{ f_k\}$ sea una secuencia de funciones continuas de valor real sobre $S$ . Demuestre que si $\lim_{k\to \infty}f_k(x_k)=f(c)$ es válida para cualquier $c\in S$ y una secuencia $\{x_k\}$ en $S$ convergiendo a $c$ entonces $\{f_k\}$ converge uniformemente a $f$ .

Desde $S$ es compacto, lo que sé es sólo la continuidad uniforme de cada $f_k$ . Además, al dejar que $x_k=c$ por cada $k\in \mathbb N$ , se desprende que $\{f_k\}$ converge puntualmente a $f$ . Sin embargo, no pude averiguar cómo seguir adelante.

Además: ¿Necesito la suposición de que $f$ ¿también es continua? Si es así, ¿podría dar un contraejemplo que haga que la afirmación sea falsa si $f$ no es continua?

Answer 1

Puedo responder a su pregunta bajo el supuesto adicional de que $f$ es continua.

Supongamos que la convergencia no es uniforme. Entonces hay un $\varepsilon>0$ tal que, para cada natural $p$ Hay una forma natural de $n\geqslant p$ tal que $\sup_{x\in S}\bigl|f(x)-f_n(x)\bigr|\geqslant\varepsilon$ . Así que ya sabes (tomando $p=1$ ) que hay un natural $n_1$ tal que $\sup_{s\in S}\bigl|f(x)-f_{n_1}(x)\bigr|\geqslant\varepsilon$ . Toma $x_{n_1}\in S$ tal que $\bigl|f(x_{n_1})-f_{n_1}(x_{n_1})\bigr|\geqslant\varepsilon$ . Comencemos con $p=n_1+1$ . Luego está $n_2\in\mathbb N$ (mayor que $n_1$ ) y hay $x_{n_2}\in S$ tal que $\bigl|f(x_{n_2})-f_{n_2}(x_{n_2})\bigr|\geqslant\varepsilon$ y así sucesivamente. La secuencia $(x_{n_k})_{k\in\mathbb N}$ no necesita converger, pero, como $S$ es compacto, alguna subsecuencia converge a algún $c\in S$ . Así que tienes una secuencia que converge a $c$ tal que la secuencia $\bigl(f_k(x_k)\bigr)_{k\in\mathbb N}$ no converge a $f(c)$ . Sin embargo, $\lim_{k\in\mathbb N}f(x_k)=f(c)$ ya que $f$ es continua. Esto contradice su suposición sobre la secuencia $(f_k)_{k\in\mathbb N}$ .

Answer 2

Permítanme primero demostrar que $f$ es continua. Sea $x\in S$ y $(x_k)_{k\in \mathbb{N}}\subseteq S$ tal que $x_k \rightarrow x$ . Sea $\epsilon>0$ . Para cada $k\in \mathbb{N}$ podemos elegir $n_k\in \mathbb{N}$ ( $n_{k}<n_{k+1}$ ) tal que

$$ \vert f_{n_k}(x_k) - f(x_k) \vert < \epsilon/2$$

(esto es posible ya que $\lim_{n\rightarrow \infty} f_n(x_k) = f(x_k)$ ). Sea $N_\epsilon\in \mathbb{N}$ tal que para todo $k\geq N_\epsilon$ tiene

$$ \vert f_{n_k}(x_k) - f(x) \vert < \epsilon/2. $$

Por lo tanto, para $k\geq N_\epsilon$ tenemos

$$ \vert f(x_k) - f(x) \vert \leq \vert f(x_k) - f_{n_k}(x_k) \vert + \vert f_{n_k}(x_k) - f(x)\vert < \epsilon.$$

Esto demuestra que

$$ \lim_{k\rightarrow \infty} f(x_k) = f(x), $$

es decir $f$ es continua.

Como $f_k, f$ son continuos y $S$ es compacto, podemos elegir $(x_k)_{k\in \mathbb{N}} \subseteq S$ tal que

$$ \sup_{x\in S} \vert f(x) - f_k(x) \vert = \vert f(x_k) - f_k(x_k) \vert $$

y por lo tanto

$$ \sup_{x\in S} \vert f(x) - f_k(x) \vert \leq \vert f(x_k) - f(x) \vert + \vert f(x) - f_k(x_k) \vert.$$

Por lo tanto, la RHS converge a cero y por lo tanto $(f_k)_{k\in \mathbb{N}}$ converge uniformemente a $f$ .