Digamos que $X$ ~ N(500, $50^2$ ) y $P(a<X<b)=0.95$ . ¿Cómo puedo calcular el mínimo(b-a)?
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Dilip Sarwate
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Supongamos que tienen un intervalo $(a,b)$ tal que $P(a < X < b)=0.95$ y supongamos que desplazamos el extremo izquierdo hacia la derecha en un pequeña cantidad $\delta$ para que el punto final izquierdo esté en $a+\delta$ . Claramente, $P(a+\delta < X < b)$ es menor que $0.95$ y por lo tanto debemos mover el punto final derecho un poco hacia la derecha también, para $b+\varepsilon$ , digamos, para que $P(a+\delta < X < b+\varepsilon)$ es igual a $0.95$ . Pero, ¿qué es $\varepsilon$ y cómo se compara con $\delta$ ? Bueno, y mirando un gráfico de la densidad normal $f(x)$ es muy útil aquí, el movimiento del punto final izquierdo de $a$ a $a+\delta$ cortar una zona $\approx f(a)\cdot \delta$ y por lo tanto el movimiento del punto final derecho debe añadir de nuevo esa cantidad de área, es decir, $$f(a)\cdot \delta = f(b)\cdot \varepsilon.$$
- Si $f(a) < f(b)$ entonces $\delta > \varepsilon$ y el nuevo intervalo $(a+\delta, b+\varepsilon)$ tiene una longitud $$b+\varepsilon -(a+\delta) = b-a -(\delta-\varepsilon) < b-a.$$
- Si $f(a) > f(b)$ entonces $\delta < \varepsilon$ y el nuevo intervalo $(a+\delta, b+\varepsilon)$ tiene una longitud $$b+\varepsilon -(a+\delta) = b-a +(\varepsilon-\delta) > b-a.$$
Por lo tanto, el intervalo más corto $(a,b)$ es aquella en la que $a$ y $b$ se eligen de forma que $f(a) = f(b)$ y, observando de nuevo la gráfica de la función de densidad, vemos que $a$ y $b$ deben estar igualmente alejados de la media.
Para que la diferencia sea mínima, tiene que ser simétrica en torno a la media, como también se señala en los comentarios. Entonces, se normaliza la RV $X$ : $$P(a<X<b)=P\left(\frac{a-500}{50}<Z<\frac{b-500}{50}\right)=0.95$$
La cola superior tiene una probabilidad de 0,025. Utilizando una tabla normal estándar ( Mesa Z ) podemos encontrar el extremo superior (o inferior dependiendo de la tabla) como $1.96$ . El extremo inferior será negativo de esto, llevando a $a,b$ .
