Derivada de una integral de una función de dos variables

Question

Quiero calcular la derivada de una integral de una función de dos variables, por lo que

$\frac{d}{dy}\int_{0}^1f(x,y)\,dx$ .

Lo siento si es una pregunta básica pero una búsqueda en google da resultados inservibles. Estoy 90% seguro de que la derivada puede ir simplemente por debajo de la integral, pero me gustaría estar seguro. Gracias.

Answer 1

Definir $$F(x,y)= \int^1_0 f(x,y)dx$$ y utilizar la regla de la cadena en $F(x,y)$ .

Este es un caso especial del Regla integral de Leibniz . Para una función de la forma: $$ f(x) = \int_{s(x)}^{g(x)} h(x, t) dt, $$ entonces la regla de Liebniz establece que $$ \frac{df}{dx} = \int_{s(x)}^{g(x)} \partial_x h(x, t) dt + h(x, g(x)) \frac{dg}{dx} - h(x, s(x)) \frac{ds}{dx}. $$

Debería reducirse a algo bastante simple después de un par de líneas.

Answer 2

Tienes razón,

$$ \frac{{\rm d}}{{\rm d}y}\int_0^1{\rm d}x~f(x,y) = \int_0^1{\rm d}x~\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} $$