¿Qué grupos contienen un peine?

Question

El peine es el grafo simple no dirigido con nodos $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ donde $\mathbb{N} \ni 0$ y bordes $$ \{\{(m,n), (m,n+1)\}, \{(m,0), (m+1,0)\} \;|\; m \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N}\} $$

Dejemos que $G$ sea un grupo discreto. Digamos que $G$ contiene un peine si existe un conjunto finito $S \not\ni 1_G$ tal que el peine es un subgrafo del grafo de Cayley (simple y no dirigido) $\mathrm{Cay}(\langle S \rangle, S)$ .

No requiero subgrafos de extensión o inducidos, sólo subgrafos simples. No requiero nada que implique "Lipschitz", los dientes $\{n\} \times \mathbb{N}$ pueden acercarse cuando quieran, sólo que no se cruzan entre sí o con ellos mismos.

Supongamos que $G$ no es localmente virtualmente cíclico. ¿Contiene necesariamente un peine?

Se puede restringir de forma equivalente a los grupos f.g. y exigir que $\mathrm{Cay}(G, S)$ contiene directamente el peine (y deja de lado el "localmente").

En caso de que la respuesta sea "no" (o sea difícil de resolver), también expongo una versión cuantitativa de esto a continuación.

Si $G$ es f.g. y no es virtualmente cíclico entonces $\mathrm{Cay}(G,S)$ contiene infinitas trayectorias disjuntas de vértices para algún conjunto generador finito $S$ . Uniendo estos rayos, obtenemos que todo grupo que no es localmente virtualmente cíclico contiene un peine con algún conjunto co-infinito de ``dientes'' eliminado. (Esto es más o menos el teorema de la rejilla de Halin, ver la discusión y seguir las referencias de http://www.dim.uchile.cl/~mstein/domin.pdf .)

Dejemos que $T \subset \mathbb{N}$ sea un conjunto infinito. El $T$ -combinación es el grafo simple no dirigido con nodos $(T \times \mathbb{N}) \cup (\mathbb{N} \times \{0\})$ y bordes $$ \{\{(t,n), (t,n+1)\}, \{(m,0), (m+1,0)\} \;|\; m \in \mathbb{N}, t \in T, n \in \mathbb{N}\} $$

¿Se puede decir algo sobre la ``densidad máxima'' de $T \subset \mathbb{N}$ tal que $G$ contiene un $T$ -(Por ejemplo, ¿podemos elegir $T$ para ser los valores de un polinomio fijo).

Algunos pensamientos míos, no muy pulidos:

• Por argumentos de compacidad y cambiando los generadores, es fácil ver que la cuestión sigue siendo equivalente si suponemos que el peine tiene un lomo de dos caras o dientes de dos caras, es decir, podemos sustituir una o las dos $\mathbb{N}$ por $\mathbb{Z}$ y, del mismo modo, con un $T$ -comb para sindetica $T \subset \mathbb{N}$ equivale a contener un peine.

• Cualquier grupo noamenable contiene un peine, porque incluso contiene un árbol binario Árboles en grupos de crecimiento exponencial

• Cualquier grafo de Cayley de un grupo f.g. infinito contiene caminos bi-infinitos, por lo que si $G$ tiene un cociente infinito $H$ cuyo núcleo no es localmente finito (es decir $G$ es f.g. y ``(no localmente finito)-por-infinito'') entonces contiene un peine. Para ello, escoge un camino infinito en ambos $H$ y $K$ con respecto a algunos generadores. Levantar el camino de $H$ arbitrariamente a $G$ (incluye preimágenes para los generadores de $G$ en el grupo electrógeno $S$ de $G$ ), y en cualquier lugar de este camino, iniciar otro camino en la dirección del núcleo.

• Para los grupos solubles, la respuesta es "sí": Entre los grupos f.g., los grupos solubles de crecimiento exponencial contienen un árbol binario (véase el enlace de MO más arriba), los grupos solubles de crecimiento subexponencial son virtualmente nilpotentes por Milnor-Wolf, y a un grupo virtualmente nilpotente se puede, por ejemplo, aplicar la observación anterior (si un grupo contiene un subgrupo que contiene un peine, contiene un peine, y todos los subgrupos de un grupo virtualmente nilpotente están finitamente generados). No sé si hay un argumento fácil para los grupos elementales amenables.

• Una cosa que parece obvia para intentar (pero no tengo las habilidades) es tomar una geodésica bi-infinita en $G$ (camino donde todos los subcaminos finitos de longitud $n$ unir elementos del grupo a distancia $n$ en el grafo de Cayley), e iniciar paseos aleatorios cada $k$ pasos para algunos $k$ que (me dicen) divergen casi con seguridad en todos los grupos con un crecimiento más rápido que $n^2$ (y en el caso no resuelto el crecimiento es superpolinómico). Quizás para un tamaño suficientemente grande $k$ se puede utilizar el lema local de Lovász o algo así para demostrar que estos no necesariamente coinciden.

Answer 1

He comprobado los sospechosos habituales y parece que [Chou, Ching. Elementary amenable groups. Illinois J. Math. 24 (1980), no. 3, 396--407. doi:10.1215/ijm/1256047608. [https://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256047608\]](https://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256047608]) resuelve el caso de amenidad elemental. No sé si debería modificar mi pregunta ya que esto no es una respuesta, pero ahí va.

Teorema 3.2'. Un grupo finitamente generado en $EG$ es casi nilpotente o contiene un subsemigrupo libre en dos generadores.

Aquí, $EG$ es la clase de grupo elemental amenable, es decir, la clase más pequeña de grupos que contiene todos los grupos finitos y todos los grupos abelianos y es cerrada bajo extensiones de grupos y uniones directas. Casi nilpotente es lo que he llamado virtualmente nilpotente en mi pregunta, es decir, tiene un subgrupo nilpotente de índice finito (aquí necesariamente f.g.). A continuación, aplique el tercer y cuarto punto de mi pregunta, los detalles a continuación, aunque probablemente obvio para los expertos si es correcto.

Teorema. Sea $G$ sea un grupo elemental amenable que no sea localmente virtualmente cíclico. Entonces $G$ contiene un peine.

Prueba: W.l.o.g. $G$ es un grupo de generación finita que no es virtualmente cíclico. Si $G$ contiene un subsemigrupo libre en dos generadores, hemos terminado. En caso contrario, por el teorema de Chou es virtualmente nilpotente. Así que demostramos que si $G$ es un grupo virtualmente nilpotente, entonces $G$ es prácticamente cíclico o contiene un peine.

Para ello, por una contradicción supongamos $G$ es nilpotente de clase de nilpotencia mínima entre aquellos grupos nilpotentes que no son virtualmente cíclicos y no contienen un peine. Es bien sabido que el subgrupo conmutador $[G, G]$ es de generación finita (por ejemplo, nilpotente) $\implies$ policíclico $\implies$ condición maximalista de los subgrupos), y por supuesto es nilpotente de clase de nilpotencia menor. Si no es virtualmente cíclico, entonces contiene un peine por la suposición inductiva, por lo tanto también $G$ por lo que podemos suponer $[G, G]$ es prácticamente cíclico.

Si $[G, G]$ es finito, entonces la abelianización $G/[G, G]$ no puede ser virtualmente cíclico o $G$ también sería prácticamente cíclico ( $\mathbb{Z}$ es un grupo libre, basta con elegir una sección), y por tanto por el teorema fundamental de los grupos abelianos $G/[G, G]$ contiene una copia de $\mathbb{Z}^2$ y, por lo tanto, un peine. De ello se desprende que $[G, G]$ debe ser prácticamente $\mathbb{Z}$ . Si la abelianización $G/[G, G]$ es finito, entonces $G$ es prácticamente cíclica por definición. Concluimos en particular $[G, G]$ y $G/[G, G]$ son ambos grupos f.g. infinitos.

Ahora hacemos como en el tercer punto de mi pregunta (explico el truco general aunque por supuesto aquí podríamos simplificar un poco): Elegir un camino bi-infinito inyectivo $p$ en algún grafo de Cayley de $[G, G]$ con algún conjunto finito de generadores $S \subset G$ y elegir otro $q$ en el grafo de Cayley de $G/[G, G]$ con algún conjunto finito de generadores $T$ . Elija para cada $t \in T$ una imagen previa en $G$ es decir $s_t \in G$ tal que $t = [G, G] s_t$ . Ahora el camino $s_q$ definida de forma obvia mediante la elevación de $q$ (si $q$ es una secuencia sobre $\mathbb{Z}$ de generadores $t \in T$ , elija el camino correspondiente a lo largo de los generadores $s_t$ ) es inyectiva como camino en $G$ ya que incluso su proyección a $G/[G, G]$ es por definición inyectiva. Ahora, comienza el camino $p$ de cada vértice de la trayectoria $s_q$ y observar que estas trayectorias no se cruzan entre sí (ya que $p$ no lo hace), y no se cruzan entre sí ya que sus proyecciones en $G/[G, G]$ se mantienen dentro de los distintos cosets.

Con esto concluye la prueba.