Mi comentario anterior "paralelogramo y cometa" señalaba una familia infinita de ejemplos de grupos de $m$ polígonos convexos enrejados en los que todos los del mismo grupo tienen el mismo diámetro, perímetro y área (donde finito $m$ puede ser arbitrariamente grande). Hay incluso dos familias infinitas de este tipo.
Las dos primeras familias de poder:
Dejemos que $\ d_1>d_2>\ldots>d_n>0,\,\ $ y $\,\ y_0 > 0\,\ $ y $\,\ y_k=y_{k-1}+d_k\ $ para $\ k=1\ldots n.$
Dejemos que $\ 0\le a_0<a_1<\ldots a_n\,\ $ y $\,\ x_0:=X\ \ge \ a_0+ 2\cdot(a_0+\ldots +a_{n-1})+ a_n.$
Comenzamos con $4$ vértices $\ (0\ 0)\ $ y $\ (X\ 0)\,\ $ y $\ (\xi_0\ y_0):=(0\ y_0)\ $ y $\ (\eta_0\ y_0):=(x_0\ y_0).$
A continuación, tenemos $\ (\xi_k\ y_k)\,$ y $\ (\eta_k\ y_k),\ $ donde $$ \xi_k:=\xi_{k-1}+a_k\qquad\text{and}\qquad \eta_k:=\eta_{k-1}-a_{k-1} $$ o $$ \xi_k:=\xi_{k-1}+a_{k-1}\qquad\text{and}\qquad \eta_k:=\eta_{k-1}-a_k $$ por cada $\ k=1\ldots n.$
De esta manera, para los fijos $d_k$ y $a_k$ y $X$ obtenemos una familia de $2^n$ poligonal al considerar todos los vértices anteriores, y obtenemos una $2^n$ polígonos cuando omitimos $\ (0\ 0)\ $ y $\ (X\ 0).$ Dentro de cada uno de estos dos grupos, el perímetro y el área son respectivamente iguales.
Además, muchos de ellos también pueden tener el mismo diámetro. En particular, cuando se ponen algunas restricciones adicionales, entonces todos ellos dentro del mismo grupo tendrán el mismo diámetro igual a $\ \sqrt{h_0^{\,2}+X^2}\ $ en el caso de $2^{n+1}$ -grupo o $\ X\ $ en el caso del $2^n$ -grupo, respectivamente.
Las segundas dos familias de poder:
Se toman dos miembros (los dos pueden ser iguales) de una de estas familias, se toma un reflejo especular de uno de estos dos miembros con respecto al eje x en el caso del $2^{n+1}$ -y con respecto a la línea paralela $y=y_0$ . El conjunto de unión de los vértices de estos dos polígonos forma el conjunto de vértices de un respectivo polígono reticular convexo del tipo SEGUNDO, y tenemos una situación similar a la del PRIMER caso.
