Sé que un número complejo es un par ordenado $(x,y) \in \mathbb{R} × \mathbb{R}$ que puede escribirse como $z=x+iy$ , donde $i^2=-1$ . Quiero alguna definición abstracta de número complejo, he buscado en google pero no he conseguido ninguna. Por favor, ayúdenme con esto.
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Robert Petz
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No estoy seguro de lo que está buscando, pero podemos realizar $\mathbb{C}$ es el cierre algebraico de $\mathbb{R}$ . En otras palabras, si añadimos formalmente una solución del polinomio $P(X)=X^2+1$ al campo $\mathbb{R}$ podemos dotar al conjunto mayor de una estructura de campo natural que extienda la estructura de campo de $\mathbb{R}$ . El campo resultante es $\mathbb{C}$ y puede ser descrito como usted dice.
Estoy mintiendo un poco. Si digo que quiero introducir $\mathbb{C}$ como el cierre algebraico de $\mathbb{R}$ debemos añadir formalmente todas las soluciones de todos los polinomios reales a $\mathbb{R}$ . Resulta que al adosar una solución de $X^2+1$ es suficiente para obtener el cierre algebraico de $\mathbb{R}$ .
Este procedimiento funciona para cualquier campo.
Ver Teorema de Kronecker sobre extensiones de campo para una discusión general detallada sobre cómo adjuntar formalmente las raíces de un polinomio a un campo.
Usted escribió que conozca que "un número complejo es un par ordenado $(x,y)\in\mathbb R\times\mathbb R$ que puede escribirse como $z=x+iy$ , donde $i^2=−1$ ." No es posible que lo sepas ya que no tiene sentido.
Puedes definir (como hizo Hamilton) un número complejo como un par ordenado $(x,y)\in\mathbb R\times\mathbb R$ y luego defines la suma y la multiplicación:
- $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ ;
- $(a,b)\times(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ .
Después de eso, puede definir $i=(0,1)$ . Entonces, si identificas cada número real $a$ con el número complejo $(a,0)$ será cierto que $i^2=-1$ .
Bernard
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Una definición algebraica simple es que $\mathbf C$ es el anillo de cociente $$\mathbf R[X]/(X^2+1),$$ que resulta ser un campo como $(X^2+1)$ es un ideal máximo en el anillo polinómico $\mathbf R[X]$ . La raíz cuadrada de $-1$ es la clase de congruencia $X+(X^2+1)$ .
Otra definición algebraica es como un conjunto de $2{\times}2$ matrices: $$\mathbf C=\biggl\{\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\;\bigg\vert\;a,b\in\mathbf R\biggr\},$$ dotado de las habituales sumas y multiplicaciones. En esta definición, el elemento unitario es la matriz unitaria, como habrás adivinado, y $\sqrt{-1}$ es $$i=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.$$
