Diagonalización del lagrangiano de Faddeev-Popov $U(1)$

Question

Cómo podemos diagonalizar el lagrangiano U(1) de Faddeev-Popov de forma consistente. Parece que no puedo encontrar ningún documento sobre esto, pero no puedo creer que no existan.

Cualquier indicación será muy apreciada.

Mi propio intento

$$S=\int dV -\partial_{\mu} \bar c \partial^\mu c \tag{1}$$ con $\bar c$ antihermético y $c$ hermético.

Obviamente, el ajuste $\bar{c} = i(\phi_1 + \phi_2)$ y $c = \phi_1 - \phi_2$ diagonalizó la acción a:

$$S=\int dV -i((\partial \phi_1)^2 -(\partial \phi_2)^2) \tag{2}$$

Por ejemplo, con $$\Pi_1 = \frac{\delta S}{\delta \partial \phi_1} = -i\partial \phi_1 \tag{3}$$ de tal manera que las relaciones de conmutación se convierten:

$$\{\phi_1(x),-i\partial \phi_1(y)\} = i\delta(x-y)\tag{4}$$

tal que $$\{a_1(k), a_1(k')^\dagger\} \sim i \delta(k-k')\tag{5}$$

De tal manera que $$\langle a|a\rangle = \langle 0|aa^\dagger|0\rangle \sim i \tag{6}$$

Eso no lo puedo entender ya que la teoría original no tenía estados con norma negativa... Además si calculo el hamiltoniano encuentro que es imaginativo.

Answer 1

Hay un grave fallo en toda tu estrategia. Como $\overline{c},\,c$ son fermiones, son valorados por los números de Grassmann. Por lo tanto, cualquier número complejo $w,\,z$ satisfacer $(w\overline{c}+zc)^2=0$ . Por lo tanto, no puede reescribir el resultado de la manera que pretendía. Más concretamente, si $\phi=w\overline{c}+zc$ entonces $$\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi=g^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi=g^{\mu\nu}\partial_\mu(w\overline{c}+zc)\partial_\nu(w\overline{c}+zc),$$ que desaparece porque los números de Grassmann anticonmutan.

Answer 2

Esta es una perspectiva ligeramente diferente: La pregunta de la OP parece preguntar (posiblemente de forma indirecta) si un término de acción fantasma cuadrático de la forma $$\bar{c}_i ~M^i{}_j~ c^j,\tag{i}$$ donde $M^i{}_j$ es una matriz (posiblemente de dimensiones infinitas), puede refundirse en un término de acción de la forma $$ \frac{1}{2} C^I ~A_{IJ}~ C^J~? \tag{ii}$$ Aquí $A_{IJ}$ es un antisimétrico matriz, debido a la naturaleza de Grassmann de la $C$ 's.

Dado que la matriz (o más bien el operador) de OP $M=\partial_{\mu}\partial^{\mu}$ es simétrico Para empezar, este empeño es una causa perdida/imposible.